शंकु छिन्नक क्या होता है?
शंकु छिन्नक — जिसे conical frustum भी कहते हैं — वह ठोस आकृति है जो तब बनती है जब किसी शंकु के नुकीले ऊपरी हिस्से को उसके आधार के समानांतर काटकर हटा दिया जाता है। इसमें दो वृत्ताकार सतहें होती हैं: नीचे की बड़ी सतह जिसकी त्रिज्या \(R\) है और ऊपर की छोटी सतह जिसकी त्रिज्या \(r\) है, और इन दोनों के बीच ऊर्ध्वाधर ऊँचाई \(h\) होती है। रोज़मर्रा के उदाहरणों में बाल्टी, लैंपशेड, पीने के गिलास और गमले शामिल हैं। यह कैलकुलेटर एक ही चरण में आयतन, तिर्यक ऊँचाई, पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल बता देता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
नीचे की त्रिज्या \(R\), ऊपर की त्रिज्या \(r\), और लंबवत ऊँचाई \(h\) डालें — तीनों एक ही इकाई में (सेमी, मीटर, इंच आदि) मापी जानी चाहिए। परिणाम में आयतन घन इकाइयों में और हर सतह का माप वर्ग इकाइयों में मिलेगा। यदि आपके पास केवल व्यास हैं, तो पहले हर व्यास को दो से भाग दे दें। \(r = 0\) रखने पर फ्रस्टम फिर से एक पूरा शंकु बन जाता है।
सूत्रों की व्याख्या
आयतन का सूत्र है $$V = \frac{1}{3}\cdot\pi\cdot h\cdot\left(R^{2} + Rr + r^{2}\right)$$ — यह दोनों वृत्तों के क्षेत्रफलों का एक औसत है जिसमें मध्य पद \(Rr\) भी जुड़ा होता है। तिर्यक ऊँचाई — यानी झुकी हुई सतह के साथ-साथ विकर्ण दूरी — पाइथागोरस प्रमेय से निकलती है: $$\ell = \sqrt{\left(R - r\right)^{2} + h^{2}}$$ घुमावदार पार्श्व सतह का क्षेत्रफल $$A = \pi\left(R + r\right)\cdot\ell$$ होता है। इसमें दोनों सपाट वृत्तों (\(\pi R^{2}\) और \(\pi r^{2}\)) को जोड़ देने पर कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल प्राप्त होता है।
हल किया गया उदाहरण
मान लीजिए \(R = 5\), \(r = 3\), \(h = 8\): $$V = \frac{1}{3}\cdot\pi\cdot 8\cdot\left(25 + 15 + 9\right) = \frac{1}{3}\cdot\pi\cdot 8\cdot 49 \approx 410.50 \text{ घन इकाई}$$ तिर्यक ऊँचाई \(\ell = \sqrt{\left(5-3\right)^{2} + 8^{2}} = \sqrt{68} \approx 8.246\)। पार्श्व क्षेत्रफल \(= \pi\cdot\left(5+3\right)\cdot 8.246 \approx 207.24\) वर्ग इकाई, और कुल क्षेत्रफल में \(\pi\cdot 25 + \pi\cdot 9 \approx 314.06\) जुड़ जाता है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्या ऊँचाई और तिर्यक ऊँचाई एक ही चीज़ हैं? नहीं। ऊँचाई \(h\) दोनों वृत्तों के बीच की सीधी ऊर्ध्वाधर दूरी है; जबकि तिर्यक ऊँचाई \(\ell\) झुकी हुई सतह के साथ-साथ चलती है और हमेशा उससे अधिक होती है।
क्या यह मायने रखता है कि कौन-सी त्रिज्या बड़ी है? नहीं — सूत्र \(R\) और \(r\) के लिए सममित हैं, इसलिए इन्हें आपस में बदल देने पर भी आयतन और क्षेत्रफल वही रहते हैं।
यह कौन-सी इकाइयाँ इस्तेमाल करता है? कोई भी, बस तीनों इनपुट एक ही इकाई में हों। आयतन घन इकाई में और क्षेत्रफल वर्ग इकाई में निकलता है।
