ما هو المخروط الناقص؟
المخروط الناقص — ويُسمى أيضًا الجذمور المخروطي — هو المجسم الناتج عن قطع رأس المخروط المدبَّب بمستوٍ موازٍ لقاعدته. يتكوّن من وجهين دائريين: قاعدة سفلية أكبر نصف قطرها R، وقاعدة علوية أصغر نصف قطرها r، يفصل بينهما ارتفاع عمودي h. ومن أبرز أمثلته في حياتنا اليومية الدلاء وأباجورات الإضاءة وأكواب الشرب وأصص النباتات. تمنحك هذه الحاسبة الحجم والارتفاع المائل والمساحة الجانبية والمساحة الكلية في خطوة واحدة.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل نصف قطر القاعدة السفلية R، ونصف قطر القاعدة العلوية r، والارتفاع العمودي h، على أن تكون جميعها بالوحدة نفسها (سنتيمتر، متر، بوصة، وغيرها). تعطيك النتيجة الحجم بالوحدات المكعّبة وكل قياسات المساحة بالوحدات المربّعة. وإذا كنت تعرف الأقطار فقط، فاقسم كل قطر على اثنين أولًا. وعند جعل \(r = 0\) يعود المجسم مخروطًا كاملًا من جديد.
شرح المعادلات
يُحسب الحجم بالعلاقة $$V = \tfrac{1}{3}\cdot\pi\cdot h\cdot\left(R^{2} + Rr + r^{2}\right)$$ وهو بمثابة متوسط لمساحتي الدائرتين مرجَّح بالحدّ المختلط \(Rr\). أما الارتفاع المائل — وهو المسافة القُطرية على طول الجانب المائل — فيُعطى بالعلاقة $$\ell = \sqrt{\left(R - r\right)^{2} + h^{2}}$$ استنادًا إلى نظرية فيثاغورس. وتُحسب مساحة الجانب المنحني، أو المساحة الجانبية، بالعلاقة $$A = \pi\left(R + r\right)\cdot \ell$$ وبجمع مساحتي الدائرتين المسطحتين (\(\pi R^{2}\) و\(\pi r^{2}\)) نحصل على المساحة السطحية الكلية.
مثال محلول
لِنفترض أن \(R = 5\)، \(r = 3\)، \(h = 8\): يكون $$V = \tfrac{1}{3}\cdot\pi\cdot 8\cdot\left(25 + 15 + 9\right) = \tfrac{1}{3}\cdot\pi\cdot 8\cdot 49 \approx 410.50 \text{ وحدة مكعّبة}$$ والارتفاع المائل $$\ell = \sqrt{\left(5-3\right)^{2} + 8^{2}} = \sqrt{68} \approx 8.246$$ والمساحة الجانبية $$= \pi\cdot\left(5+3\right)\cdot 8.246 \approx 207.24 \text{ وحدة مربّعة}$$ أما المساحة الكلية فنضيف إليها \(\pi\cdot 25 + \pi\cdot 9 \approx 314.06\).
الأسئلة الشائعة
هل الارتفاع هو نفسه الارتفاع المائل؟ لا. الارتفاع \(h\) هو المسافة العمودية المستقيمة بين الدائرتين، بينما يمتد الارتفاع المائل \(\ell\) على طول السطح المائل ويكون دائمًا أطول.
هل يهم أيّ نصف قطر هو الأكبر؟ لا — المعادلات متماثلة بالنسبة لـ \(R\) و\(r\)، لذا فإن تبديل قيمتيهما يعطي الحجم والمساحات نفسها.
ما الوحدات التي تستخدمها الحاسبة؟ أي وحدة، شريطة أن تشترك المدخلات الثلاثة في الوحدة نفسها. يأتي الحجم بالوحدات المكعّبة والمساحات بالوحدات المربّعة.
