원뿔대란?
원뿔대(절단 원뿔)는 원뿔의 뾰족한 꼭대기를 밑면과 평행하게 잘라냈을 때 남는 입체입니다. 위아래로 두 개의 원형 면이 있는데, 아래쪽은 반지름 \(R\)의 큰 원, 위쪽은 반지름 \(r\)의 작은 원이며 둘 사이의 수직 높이는 \(h\)입니다. 양동이, 전등갓, 종이컵, 화분 등이 우리 주변에서 흔히 볼 수 있는 원뿔대 모양이죠. 이 계산기는 부피, 모선 길이, 옆넓이, 겉넓이를 한 번에 구해 줍니다.
계산기 사용법
아래 반지름 \(R\), 위 반지름 \(r\), 그리고 수직 높이 \(h\)를 모두 같은 단위(cm, m, inch 등)로 입력하세요. 결과로 부피는 세제곱 단위, 각 넓이는 제곱 단위로 표시됩니다. 지름만 알고 있다면 먼저 2로 나눠 반지름으로 바꿔 입력하면 됩니다. \(r = 0\)으로 두면 원뿔대가 다시 완전한 원뿔이 됩니다.
공식 한눈에 보기
부피는 다음으로 구합니다.
$$V = \frac{1}{3}\pi\,h\left(R^{2} + R\,r + r^{2}\right)$$이는 위아래 두 원의 넓이를 교차항 \(Rr\)로 보정해 평균낸 값이라고 볼 수 있습니다. 모선 길이, 즉 기울어진 옆면을 따라 잰 대각선 거리는 피타고라스 정리에 따라 다음과 같습니다.
$$\ell = \sqrt{\left(R - r\right)^{2} + h^{2}}$$곡면(옆넓이)은 \(A_{L} = \pi(R + r)\,\ell\)이고, 여기에 위아래 두 원의 넓이(\(\pi R^{2}\)과 \(\pi r^{2}\))를 더하면 겉넓이가 됩니다.
계산 예시
\(R = 5\), \(r = 3\), \(h = 8\)일 때:
$$V = \frac{1}{3}\cdot\pi\cdot 8\cdot(25 + 15 + 9) = \frac{1}{3}\cdot\pi\cdot 8\cdot 49 \approx 410.50$$세제곱 단위입니다. 모선 길이 \(\ell = \sqrt{(5-3)^{2} + 8^{2}} = \sqrt{68} \approx 8.246\). 옆넓이 \(= \pi\cdot(5+3)\cdot 8.246 \approx 207.24\) 제곱 단위이고, 여기에 \(\pi\cdot 25 + \pi\cdot 9 \approx 314.06\)을 더하면 겉넓이가 나옵니다.
자주 묻는 질문
높이와 모선 길이는 같은 건가요? 아닙니다. 높이 \(h\)는 두 원 사이의 곧은 수직 거리이고, 모선 길이 \(\ell\)은 기울어진 옆면을 따라 잰 길이여서 항상 \(h\)보다 깁니다.
어느 반지름이 더 커야 하나요? 상관없습니다. 공식은 \(R\)과 \(r\)에 대해 대칭이므로 두 값을 바꿔 넣어도 부피와 넓이는 똑같이 나옵니다.
어떤 단위를 쓰면 되나요? 세 입력값의 단위만 같다면 어떤 단위든 괜찮습니다. 부피는 세제곱, 넓이는 제곱 단위로 나옵니다.
