अंकगणितीय-ज्यामितीय माध्य क्या है?
अंकगणितीय-ज्यामितीय माध्य, जिसे AGM(a, b) लिखा जाता है, गणितज्ञ गॉस द्वारा अध्ययन की गई एक प्रसिद्ध संरचना है। दो ऋण-रहित संख्याओं a और b से शुरुआत करके, आप इस जोड़ी को बार-बार उसके अंकगणितीय माध्य और ज्यामितीय माध्य से बदलते जाते हैं। दोनों नई श्रेणियाँ एक ही उभयनिष्ठ मान की ओर सिमटती जाती हैं — यही साझा सीमा AGM कहलाती है। यह विशुद्ध गणित है और हर जगह एक समान लागू होता है; इसके इनपुट बिना किसी इकाई वाली विमाहीन संख्याएँ हैं।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
a और b के लिए एक-एक मान दर्ज करें (दोनों शून्य या धनात्मक होने चाहिए)। अधिकतम लूप संख्या n पुनरावृत्तियों की संख्या की ऊपरी सीमा तय करती है — डिफ़ॉल्ट मान 100 आवश्यकता से कहीं ज़्यादा है, क्योंकि डबल-प्रिसिज़न अभिसरण आमतौर पर 5 या 6 चरणों में ही हो जाता है। कैलकुलेटर AGM(a, b) के साथ-साथ यह भी बताता है कि कार्यशील परिशुद्धता पर दोनों श्रेणियों के मिलने से पहले वास्तव में कितनी पुनरावृत्तियाँ हुईं।
सूत्र की व्याख्या
मान लीजिए \(a_0 = a\) और \(b_0 = b\)। फिर इस प्रकार दोहराएँ:
$$a_{k+1} = \frac{a_k + b_k}{2}, \qquad b_{k+1} = \sqrt{a_k\, b_k}$$(अंकगणितीय माध्य) और (ज्यामितीय माध्य)।
चूँकि अंकगणितीय माध्य हमेशा ज्यामितीय माध्य से कम-से-कम बराबर या बड़ा होता है, इसलिए a-पद घटते जाते हैं जबकि b-पद बढ़ते जाते हैं, और सीमा इन दोनों के बीच फँसकर रह जाती है। अभिसरण द्विघातीय होता है — हर चरण पर सही अंकों की संख्या लगभग दोगुनी हो जाती है।
$$\text{AGM} = \lim_{k \to \infty} a_k = \lim_{k \to \infty} b_k$$
हल किया गया उदाहरण: AGM(24, 6)
\(a_0 = 24\), \(b_0 = 6\)। चरण 1: $$a_1 = \frac{24 + 6}{2} = 15, \qquad b_1 = \sqrt{24 \cdot 6} = \sqrt{144} = 12$$ चरण 2: \(a_2 = 13.5\), \(b_2 = \sqrt{180} \approx 13.41640786\)। चरण 3: \(a_3 \approx 13.45820393\), \(b_3 \approx 13.45820352\)। कुछ और चरणों में दोनों \(\text{AGM}(24, 6) \approx 13.45820372613015\) पर स्थिर हो जाते हैं।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
अगर a और b बराबर हों तो क्या होगा? तब दोनों श्रेणियाँ स्थिर रहती हैं, इसलिए \(\text{AGM}(a, a) = a\) तुरंत मिल जाता है, जैसे \(\text{AGM}(5, 5) = 5\)।
अगर कोई एक मान 0 हो तो? ज्यामितीय माध्य \(\sqrt{0} = 0\) बन जाता है और 0 ही बना रहता है, इसलिए \(\text{AGM}(a, 0) = \text{AGM}(0, b) = 0\)।
क्या मैं ऋणात्मक संख्याओं का उपयोग कर सकता हूँ? नहीं। ऋणात्मक गुणनफल का वर्गमूल वास्तविक संख्याओं में परिभाषित नहीं होता, इसलिए इस टूल के लिए \(a \ge 0\) और \(b \ge 0\) होना आवश्यक है।
