Aritmetik-Geometrik Ortalama Nedir?
AGO(a, b) biçiminde yazılan aritmetik-geometrik ortalama, Gauss'un üzerinde çalıştığı meşhur bir kurgudur. Negatif olmayan iki sayı olan a ve b ile başlayıp, bu çifti her adımda kendi aritmetik ortalaması ve geometrik ortalamasıyla değiştirirsiniz. İki yeni dizi de tek bir ortak değere doğru sıkışır — işte bu ortak limit AGO'dur. Bu, saf bir matematik kavramıdır ve her yerde aynı şekilde geçerlidir; girdiler birimsiz, boyutsuz sayılardır.
Bu Hesaplayıcı Nasıl Kullanılır?
a için bir değer ve b için bir değer girin (her ikisi de sıfır veya pozitif olmalıdır). Maksimum döngü sayısı n, yineleme sayısına bir üst sınır koyar — varsayılan 100 değeri gereğinden çok fazladır, çünkü çift duyarlıklı (double) yakınsama genellikle 5 veya 6 adımda gerçekleşir. Hesaplayıcı, AGO(a, b) değerinin yanı sıra iki dizinin çalışma duyarlığında eşleşmesinden önce fiilen yapılan yineleme sayısını da verir.
Formülün Açıklaması
\(a_0 = a\) ve \(b_0 = b\) alın. Ardından şu şekilde yineleyin:
$$a_{k+1} = \frac{a_k + b_k}{2}, \qquad b_{k+1} = \sqrt{a_k\, b_k}$$(\(a_{k+1}\) aritmetik ortalama ve \(b_{k+1}\) geometrik ortalama).
Aritmetik ortalama her zaman geometrik ortalamadan büyük veya ona eşit olduğundan, a terimleri azalırken b terimleri artar ve limiti aralarında sıkıştırır. Yakınsama karesel niteliktedir — doğru basamak sayısı her adımda yaklaşık iki katına çıkar.
Çözümlü Örnek: AGO(24, 6)
\(a_0 = 24\), \(b_0 = 6\). 1. Adım: $$a_1 = \frac{24 + 6}{2} = 15, \qquad b_1 = \sqrt{24\cdot 6} = \sqrt{144} = 12.$$ 2. Adım: $$a_2 = 13{,}5, \qquad b_2 = \sqrt{180} \approx 13{,}41640786.$$ 3. Adım: \(a_3 \approx 13{,}45820393\), \(b_3 \approx 13{,}45820352\). Birkaç adım daha sonra her ikisi de \(\text{AGO}(24, 6) \approx 13{,}45820372613015\) değerinde sabitlenir.
Sıkça Sorulan Sorular
a, b'ye eşitse ne olur? Diziler sabit kalır, dolayısıyla AGO(a, a) doğrudan a olur; örneğin \(\text{AGO}(5, 5) = 5\).
Değerlerden biri 0 ise ne olur? Geometrik ortalama \(\sqrt{0} = 0\) olur ve 0 olarak kalır, dolayısıyla \(\text{AGO}(a, 0) = \text{AGO}(0, b) = 0\) olur.
Negatif sayılar kullanabilir miyim? Hayır. Negatif bir çarpım, gerçel sayılarda karekökü tanımsız hale getirir; bu nedenle bu araç \(a \ge 0\) ve \(b \ge 0\) olmasını gerektirir.
