Qu'est-ce que la moyenne arithmético-géométrique ?
La moyenne arithmético-géométrique, notée MAG(a, b), est une construction célèbre étudiée par Gauss. À partir de deux nombres positifs a et b, on remplace de façon répétée le couple par sa moyenne arithmétique et sa moyenne géométrique. Les deux nouvelles suites se resserrent vers une seule et même valeur commune : cette limite partagée est la MAG. Il s'agit de mathématiques pures, valables à l'identique partout ; les valeurs saisies sont des nombres sans dimension, dépourvus d'unités.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez une valeur pour a et une valeur pour b (toutes deux nulles ou positives). Le nombre maximal d'itérations n limite le nombre de boucles : la valeur par défaut de 100 est largement supérieure au nécessaire, car en double précision la convergence intervient généralement en 5 ou 6 étapes. Le calculateur renvoie MAG(a, b) ainsi que le nombre d'itérations réellement effectuées avant que les deux suites ne coïncident à la précision de travail.
La formule expliquée
Posez \(a_0 = a\) et \(b_0 = b\). Puis itérez :
$$a_{k+1} = \frac{a_k + b_k}{2}$$ (la moyenne arithmétique), et $$b_{k+1} = \sqrt{a_k \cdot b_k}$$ (la moyenne géométrique).
Comme la moyenne arithmétique est toujours au moins égale à la moyenne géométrique, les termes en a décroissent tandis que les termes en b croissent, encadrant ainsi la limite. La convergence est quadratique : le nombre de décimales correctes double à peu près à chaque étape.
Exemple détaillé : MAG(24, 6)
\(a_0 = 24\), \(b_0 = 6\). Étape 1 : $$a_1 = \frac{24 + 6}{2} = 15, \qquad b_1 = \sqrt{24 \cdot 6} = \sqrt{144} = 12.$$ Étape 2 : $$a_2 = 13{,}5, \qquad b_2 = \sqrt{180} \approx 13{,}41640786.$$ Étape 3 : $$a_3 \approx 13{,}45820393, \qquad b_3 \approx 13{,}45820352.$$ En quelques étapes supplémentaires, les deux suites se stabilisent sur \(\text{MAG}(24, 6) \approx 13{,}45820372613015\).
Foire aux questions
Que se passe-t-il si a est égal à b ? Les suites sont constantes, donc \(\text{MAG}(a, a) = a\) immédiatement, par exemple \(\text{MAG}(5, 5) = 5\).
Et si l'une des valeurs vaut 0 ? La moyenne géométrique devient \(\sqrt{0} = 0\) et le reste, donc \(\text{MAG}(a, 0) = \text{MAG}(0, b) = 0\).
Puis-je utiliser des nombres négatifs ? Non. Un produit négatif rend la racine carrée indéfinie dans les réels ; cet outil exige donc \(a \ge 0\) et \(b \ge 0\).
