¿Qué es la media aritmético-geométrica?
La media aritmético-geométrica, escrita como MAG(a, b), es una célebre construcción estudiada por Gauss. Partiendo de dos números no negativos a y b, se sustituye repetidamente el par por su media aritmética y su media geométrica. Ambas sucesiones se aproximan hasta encontrarse en un único valor común: ese límite compartido es la MAG. Se trata de matemáticas puras que se aplican igual en cualquier parte; los valores de entrada son números adimensionales, sin unidades.
Cómo usar esta calculadora
Introduce un valor para a y otro para b (ambos deben ser cero o positivos). El número máximo de iteraciones n limita la cantidad de pasos del bucle: el valor predeterminado de 100 es mucho más de lo necesario, ya que con precisión doble la convergencia suele alcanzarse en 5 o 6 pasos. La calculadora devuelve MAG(a, b) junto con el número de iteraciones realmente ejecutadas antes de que ambas sucesiones coincidieran con la precisión de trabajo.
La fórmula explicada
Define \(a_0 = a\) y \(b_0 = b\). Después, itera:
$$a_{k+1} = \frac{a_k + b_k}{2} \quad \text{(la media aritmética)}, \qquad b_{k+1} = \sqrt{a_k \cdot b_k} \quad \text{(la media geométrica)}.$$
Como la media aritmética siempre es mayor o igual que la geométrica, los términos a van disminuyendo mientras que los términos b van aumentando, atrapando el límite entre ambos. La convergencia es cuadrática: el número de cifras correctas se duplica aproximadamente en cada paso.
Ejemplo resuelto: MAG(24, 6)
\(a_0 = 24\), \(b_0 = 6\). Paso 1: $$a_1 = \frac{24 + 6}{2} = 15, \qquad b_1 = \sqrt{24 \cdot 6} = \sqrt{144} = 12.$$ Paso 2: \(a_2 = 13{,}5\), \(b_2 = \sqrt{180} \approx 13{,}41640786\). Paso 3: \(a_3 \approx 13{,}45820393\), \(b_3 \approx 13{,}45820352\). En un par de pasos más, ambas se asientan en \(\text{MAG}(24, 6) \approx 13{,}45820372613015\).
Preguntas frecuentes
¿Qué ocurre si a es igual a b? Las sucesiones son constantes, así que \(\text{MAG}(a, a) = a\) de inmediato; por ejemplo, \(\text{MAG}(5, 5) = 5\).
¿Y si uno de los valores es 0? La media geométrica pasa a ser \(\sqrt{0} = 0\) y se mantiene en 0, por lo que \(\text{MAG}(a, 0) = \text{MAG}(0, b) = 0\).
¿Puedo usar números negativos? No. Un producto negativo deja la raíz cuadrada indefinida en los números reales, de modo que esta herramienta exige \(a \ge 0\) y \(b \ge 0\).
