Trung bình cộng - nhân là gì?
Trung bình cộng - nhân, ký hiệu AGM(a, b), là một cấu trúc toán học nổi tiếng do Gauss nghiên cứu. Xuất phát từ hai số không âm a và b, ta liên tục thay cặp số đó bằng trung bình cộng và trung bình nhân của chúng. Hai dãy mới sẽ cùng siết lại về một giá trị chung duy nhất — giới hạn chung đó chính là AGM. Đây là toán học thuần túy và áp dụng giống hệt nhau ở mọi nơi; các giá trị đầu vào là những con số không thứ nguyên, không kèm đơn vị.
Cách dùng công cụ này
Nhập giá trị cho a và giá trị cho b (cả hai phải bằng 0 hoặc dương). Số vòng lặp tối đa n giới hạn số lần lặp — giá trị mặc định 100 là dư thừa rất nhiều so với nhu cầu thực tế, vì với độ chính xác kép, dãy thường hội tụ chỉ sau 5 hoặc 6 bước. Công cụ sẽ trả về AGM(a, b) cùng số lần lặp thực tế đã thực hiện trước khi hai dãy trùng khớp ở độ chính xác làm việc.
Giải thích công thức
Đặt \(a_0 = a\) và \(b_0 = b\). Sau đó lặp:
$$a_{k+1} = \frac{a_k + b_k}{2} \quad \text{(trung bình cộng)}, \qquad b_{k+1} = \sqrt{a_k \cdot b_k} \quad \text{(trung bình nhân)}$$
Vì trung bình cộng luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân, nên dãy a giảm dần còn dãy b tăng dần, kẹp giới hạn nằm giữa hai dãy. Tốc độ hội tụ là bậc hai — số chữ số đúng gần như tăng gấp đôi sau mỗi bước.
Ví dụ minh họa: AGM(24, 6)
\(a_0 = 24\), \(b_0 = 6\). Bước 1: $$a_1 = \frac{24 + 6}{2} = 15, \qquad b_1 = \sqrt{24 \cdot 6} = \sqrt{144} = 12$$ Bước 2: \(a_2 = 13{,}5\), \(b_2 = \sqrt{180} \approx 13{,}41640786\). Bước 3: \(a_3 \approx 13{,}45820393\), \(b_3 \approx 13{,}45820352\). Chỉ thêm vài bước nữa là cả hai dãy cùng ổn định tại \(\text{AGM}(24, 6) \approx 13{,}45820372613015\).
Câu hỏi thường gặp
Nếu a bằng b thì sao? Hai dãy đều là hằng số, nên \(\text{AGM}(a, a) = a\) ngay lập tức, ví dụ \(\text{AGM}(5, 5) = 5\).
Nếu một giá trị bằng 0 thì sao? Trung bình nhân trở thành \(\sqrt{0} = 0\) và giữ nguyên bằng 0, nên \(\text{AGM}(a, 0) = \text{AGM}(0, b) = 0\).
Tôi có dùng được số âm không? Không. Tích âm khiến căn bậc hai không xác định trên tập số thực, nên công cụ này yêu cầu \(a \ge 0\) và \(b \ge 0\).
