Hình viên phân là gì?
Hình viên phân là phần của hình tròn bị "cắt" ra bởi một đường thẳng (dây cung) — chính là vùng cong hình vòm nằm giữa dây cung và cung tròn phía trên. Cách mô tả tự nhiên nhất cho hình này là dùng bán kính của đường tròn r và chiều cao của viên phân h (còn gọi là sagitta hay đường trung trực cung), tức khoảng cách lớn nhất từ dây cung lên đến cung tròn. Đây thuần túy là hình học và áp dụng được cho mọi đơn vị; chỉ cần giữ r và h cùng một đơn vị độ dài, diện tích sẽ ra theo đơn vị đó bình phương.
Cách dùng công cụ này
Hãy nhập bán kính r và chiều cao viên phân h. Chiều cao phải thỏa mãn điều kiện \(0 < h \le 2r\): khi \(h = r\) ta có nửa hình tròn, còn khi \(h = 2r\) thì viên phân chính là cả hình tròn. Bạn chọn số chữ số có nghĩa muốn hiển thị (lựa chọn này chỉ ảnh hưởng đến cách hiển thị, không làm thay đổi kết quả tính toán). Công cụ sẽ trả về diện tích viên phân S, góc ở tâm θ tính theo cả radian và độ, độ dài cung L và độ dài dây cung c.
Giải thích các công thức
Trước tiên, góc ở tâm được suy ra từ chiều cao: \(\theta = 2\arccos\!\left(1 - \tfrac{h}{r}\right)\). Độ dài cung là \(L = r\cdot\theta\), còn dây cung là \(c = 2\sqrt{h(2r - h)}\). Diện tích kết hợp giữa phần hình quạt tròn và phần hiệu chỉnh tam giác:
$$S = \frac{\theta}{2}\,r^{2} - (r - h)\sqrt{h(2r - h)}$$Khi \(h > r\), số hạng \((r - h)\) mang giá trị âm, nhờ đó công thức cộng thêm phần diện tích vượt quá nửa hình tròn một cách chính xác.
Ví dụ minh họa
Lấy \(r = 1\) và \(h = 0{,}5\). Khi đó \(1 - h/r = 0{,}5\), nên
$$\theta = 2\arccos(0{,}5) = 2{,}0943951 \text{ rad} = 120^\circ$$Độ dài cung
$$L = 1 \times 2{,}0943951 = 2{,}0943951$$Với \(h(2r - h) = 0{,}75\), ta có \(\sqrt{0{,}75} = 0{,}8660254\), nên \(c = 1{,}7320508\). Cuối cùng
$$S = 1{,}0471976 - 0{,}5\cdot 0{,}8660254 = 0{,}6141848$$Câu hỏi thường gặp
Sagitta là gì? Đó chính là chiều cao viên phân h — khoảng cách vuông góc từ trung điểm của dây cung đến cung tròn.
Nếu h bằng 2r thì sao? Viên phân khi đó trở thành toàn bộ hình tròn: \(\theta = 2\pi\), độ dài dây cung \(c = 0\) và \(S = \pi r^{2}\).
Diện tích có thể lớn hơn nửa hình tròn không? Có. Khi \(h > r\), viên phân lớn hơn một nửa hình tròn, và công thức đã tự động tính đến trường hợp này.
