弓形とは
弓形（きゅうけい）とは、円を1本の直線（弦）で切り取ったときにできる、弦と弧にはさまれた弓のような形の領域です。この弓形を表すもっとも自然な方法が、円の半径 r と弓形の高さ h（「矢（や）」とも呼ばれます）を使うやり方です。高さ h とは、弦から弧の頂点までの最大の距離を指します。これは純粋な幾何学の計算なので、どんな長さの単位でも使えます。r と h を同じ単位でそろえれば、面積はその単位の2乗で求まります。
この計算機の使い方
半径 r と弓形の高さ h を入力してください。高さは \(0 < h \le 2r\) の範囲である必要があります。h = r のときは半円になり、h = 2r のときは弓形が円全体になります。表示する有効桁数も選べます（これは表示だけに影響し、計算自体には影響しません）。この計算機は、弓形の面積 S、中心角 θ（ラジアンと度の両方）、弧の長さ L、弦の長さ c を求めます。
計算式の解説
まず、高さから中心角を求めます： $$\theta = 2\cdot\arccos\!\left(1 - \tfrac{h}{r}\right)$$ 弧の長さは \(L = r\cdot\theta\)、弦の長さは \(c = 2\cdot\sqrt{h(2r - h)}\) です。面積は、扇形の部分から三角形の補正を加えて求めます： $$S = \frac{\theta}{2}\cdot r^{2} - (r - h)\cdot\sqrt{h(2r - h)}$$ h > r のときは \((r - h)\) の項が負になり、半円を超えた分の面積が正しく加算されます。
計算例
r = 1、h = 0.5 とします。すると \(1 - h/r = 0.5\) なので、\(\theta = 2\cdot\arccos(0.5) = 2.0943951 \text{ rad} = 120^\circ\) となります。弧の長さは \(L = 1 \times 2.0943951 = 2.0943951\)。\(h(2r - h) = 0.75\) で \(\sqrt{0.75} = 0.8660254\) なので、\(c = 1.7320508\)。最後に \(S = 1.0471976 - 0.5\cdot 0.8660254 = 0.6141848\) となります。
よくある質問
「矢（や）」とは何ですか？ 弓形の高さ h のことです。弦の中点から弧までの垂直方向の距離を指します。
h が 2r に等しいときはどうなりますか？ 弓形は円全体になります。\(\theta = 2\pi\)、弦の長さ c = 0、面積 \(S = \pi r^{2}\) となります。
面積が半円を超えることはありますか？ あります。h > r のときは弓形が円の半分より大きくなり、この計算式は自動的にその分を考慮します。
