什麼是算術幾何平均數？
算術幾何平均數通常寫作 \(\text{AGM}(a, b)\)，是高斯（Gauss）研究過的著名數學構造。給定兩個非負數 \(a\) 與 \(b\)，我們反覆地把這對數字換成它們的算術平均與幾何平均。這樣產生的兩個新數列會逐步逼近同一個共同值——這個共同極限就是 AGM。這是純粹的數學運算，在任何地方的結果都完全相同；輸入值是沒有單位的無因次數字。
計算器使用方式
請分別輸入 a 與 b 的值（兩者都必須為零或正數）。最大迴圈次數 n 用來限制迭代次數——預設值 100 遠超過實際所需，因為在雙精度浮點數下通常 5 到 6 步就能收斂。計算器會回傳 \(\text{AGM}(a, b)\)，並顯示兩個數列在運算精度下達到一致前，實際執行的迭代次數。
公式解析
令 \(a_0 = a\)、\(b_0 = b\)，接著反覆計算：
$$a_{k+1} = \frac{a_k + b_k}{2}$$（算術平均），以及 $$b_{k+1} = \sqrt{a_k \cdot b_k}$$（幾何平均）。
由於算術平均永遠大於或等於幾何平均，因此 \(a\) 數列會逐漸下降、\(b\) 數列會逐漸上升，把極限值夾在兩者之間。它的收斂速度是二次的——每一步正確的位數大約會翻倍。
實例演算：AGM(24, 6)
\(a_0 = 24\)、\(b_0 = 6\)。第 1 步：$$a_1 = \frac{24 + 6}{2} = 15, \qquad b_1 = \sqrt{24 \cdot 6} = \sqrt{144} = 12$$第 2 步：\(a_2 = 13.5\)，\(b_2 = \sqrt{180} \approx 13.41640786\)。第 3 步：\(a_3 \approx 13.45820393\)，\(b_3 \approx 13.45820352\)。再多算幾步，兩者就會穩定在 \(\text{AGM}(24, 6) \approx 13.45820372613015\)。
常見問答
如果 a 等於 b 會怎樣？此時數列維持不變，所以 \(\text{AGM}(a, a) = a\) 立即成立，例如 \(\text{AGM}(5, 5) = 5\)。
如果其中一個值是 0 呢？幾何平均會變成 \(\sqrt{0} = 0\) 並一直維持 0，因此 \(\text{AGM}(a, 0) = \text{AGM}(0, b) = 0\)。
可以使用負數嗎？不行。負數的乘積會讓平方根在實數範圍內無定義，所以本工具要求 \(a \ge 0\) 且 \(b \ge 0\)。
