शंकु कैलकुलेटर क्या है?
यह कैलकुलेटर किसी लंब वृत्तीय शंकु (right circular cone) के सभी मुख्य ज्यामितीय गुण — इसका आयतन, तिर्यक ऊँचाई, आधार का क्षेत्रफल, पार्श्व (साइड का) पृष्ठीय क्षेत्रफल और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल — सीधे आधार की त्रिज्या और लंबवत ऊँचाई से निकाल देता है। यह एक सार्वभौमिक गणित उपकरण है जो हर जगह काम करता है; बस अपनी त्रिज्या और ऊँचाई एक ही इकाई में रखें, तो आपके परिणाम भी उसी से मेल खाती वर्ग और घन इकाइयों में मिलेंगे।
इसका उपयोग कैसे करें
शंकु की आधार त्रिज्या (r) और लंबवत ऊँचाई (h) दर्ज करें, फिर नीचे परिणाम देखें। आयतन घन इकाइयों में और क्षेत्रफल वर्ग इकाइयों में दिखाया जाता है। तिर्यक ऊँचाई अपने आप गणना हो जाती है — यह शीर्ष से साइड के सहारे आधार के किनारे तक की दूरी होती है।
सूत्रों की व्याख्या
किसी शंकु का आयतन उसी बेलन (cylinder) का ठीक एक-तिहाई होता है जो उसे ढक सके: $$V = \tfrac{1}{3}\cdot\pi\cdot r^{2}\cdot h$$ तिर्यक ऊँचाई पाइथागोरस प्रमेय से मिलती है, $$l = \sqrt{r^{2} + h^{2}}$$ क्योंकि त्रिज्या और ऊँचाई आधार के केंद्र पर समकोण बनाती हैं। घुमावदार साइड को खोलकर सपाट करने पर पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल \(\pi\cdot r\cdot l\) मिलता है, और इसमें वृत्ताकार आधार का क्षेत्रफल \(\pi\cdot r^{2}\) जोड़ने पर कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल \(\pi\cdot r\cdot(r + l)\) प्राप्त होता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए एक शंकु जिसमें \(r = 3\) और \(h = 4\) है: तिर्यक ऊँचाई $$l = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$ आयतन $$V = \tfrac{1}{3}\cdot\pi\cdot 9\cdot 4 = 12\pi \approx 37.70$$ पार्श्व क्षेत्रफल $$\pi\cdot 3\cdot 5 = 15\pi \approx 47.12$$ कुल क्षेत्रफल $$\pi\cdot 3\cdot(3 + 5) = 24\pi \approx 75.40$$
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या यह केवल लंब शंकु के लिए है? हाँ — पृष्ठीय क्षेत्रफल के सूत्र लंब वृत्तीय शंकु मानकर बनाए गए हैं (जिसका शीर्ष आधार के केंद्र के ठीक ऊपर हो)।
मुझे कौन-सी इकाई इस्तेमाल करनी चाहिए? कोई भी इकाई, बशर्ते त्रिज्या और ऊँचाई एक ही हों। उसी इकाई में क्षेत्रफल वर्ग में और आयतन घन में निकलकर आएगा।
तिर्यक ऊँचाई क्या होती है? यह शंकु के नुकीले शीर्ष से आधार के किनारे तक की सीधी रेखा की दूरी होती है, जो \(\sqrt{r^{2} + h^{2}}\) के बराबर होती है।
