शंकु फ्रस्टम क्या होता है?
शंकु फ्रस्टम वह ठोस आकृति है जो तब बनती है जब किसी लंब वृत्तीय शंकु के ऊपरी हिस्से को उसके आधार के समानांतर काटकर अलग कर दिया जाता है। इस तरह बनी कटी हुई शंकु आकृति में दो वृत्ताकार सतहें होती हैं — एक बड़ा निचला आधार जिसकी त्रिज्या \(R\) है और एक छोटा ऊपरी सिरा जिसकी त्रिज्या \(r\) है, और इन दोनों के बीच लंबवत ऊँचाई \(h\) होती है। रोज़मर्रा की ज़िंदगी में पानी के गिलास, लैंपशेड, बाल्टी और गमले इसके बढ़िया उदाहरण हैं।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
निचली त्रिज्या (\(R\)), ऊपरी त्रिज्या (\(r\)) और लंबवत ऊँचाई (\(h\)) को किसी भी एक ही इकाई में दर्ज करें। कैलकुलेटर आपको घन इकाइयों में आयतन, तिरछी ऊँचाई, पार्श्व (वक्र) पृष्ठीय क्षेत्रफल, हर वृत्ताकार सतह का क्षेत्रफल और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल लौटाएगा। ध्यान दें — अगर ऊपरी त्रिज्या शून्य हो जाए तो फ्रस्टम पूरा शंकु बन जाता है; और अगर \(R\) तथा \(r\) बराबर हों तो यह एक बेलन (सिलिंडर) बन जाता है।
सूत्रों की पूरी समझ
आयतन निकालने में अनुप्रस्थ काटों के औसत का नियम लगता है: $$V = \frac{1}{3}\cdot\pi\cdot h\cdot(R^{2} + R\cdot r + r^{2})$$ तिरछी ऊँचाई दरअसल झुकी हुई साइड के साथ की सीधी दूरी है, जिसे पाइथागोरस प्रमेय से निकाला जाता है: $$\ell = \sqrt{(R - r)^{2} + h^{2}}$$ फ्रस्टम को चारों ओर से ढकने वाली वक्र सतह का पार्श्व क्षेत्रफल $$A_L = \pi\cdot(R + r)\cdot\ell$$ होता है। इसमें दोनों वृत्ताकार सिरों (\(\pi\cdot R^{2}\) और \(\pi\cdot r^{2}\)) को जोड़ देने पर कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल मिल जाता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(R = 5\), \(r = 3\), \(h = 8\): $$V = \frac{1}{3}\cdot\pi\cdot 8\cdot(25 + 15 + 9) = \frac{1}{3}\cdot\pi\cdot 8\cdot 49 \approx 410.50 \text{ घन इकाई}$$ तिरछी ऊँचाई $$= \sqrt{(5-3)^{2} + 8^{2}} = \sqrt{4 + 64} = \sqrt{68} \approx 8.246$$ पार्श्व क्षेत्रफल $$= \pi\cdot(5+3)\cdot 8.246 \approx 207.23 \text{ वर्ग इकाई}$$
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्या \(h\) तिरछी ऊँचाई है या लंबवत ऊँचाई? यहाँ लंबवत (perpendicular) ऊँचाई दर्ज करें। तिरछी ऊँचाई कैलकुलेटर खुद निकाल देगा।
यह किन इकाइयों में काम करता है? किसी भी इकाई में, बस शर्त यह है कि \(R\), \(r\) और \(h\) तीनों एक ही इकाई में हों। आयतन घन इकाई में और क्षेत्रफल वर्ग इकाई में मिलेगा।
क्या \(R\) और \(r\) का क्रम मायने रखता है? नहीं — सूत्र सममित (symmetric) हैं, इसलिए दोनों त्रिज्याओं को आपस में बदल देने पर भी आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल वही रहते हैं।
