ما هو المخروط الناقص؟
المخروط الناقص هو المجسم الناتج عن قطع رأس مخروط دائري قائم بمستوٍ موازٍ لقاعدته. والنتيجة مخروط مبتور له وجهان دائريان: قاعدة سفلية أكبر نصف قطرها R، ووجه علوي أصغر نصف قطره r، يفصل بينهما ارتفاع رأسي h. ومن أمثلته في حياتنا اليومية أكواب الشرب وأغطية المصابيح والدلاء وأصص الزرع.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل نصف قطر القاعدة (\(R\))، ونصف القطر العلوي (\(r\))، والارتفاع العمودي (\(h\)) باستخدام وحدة قياس موحّدة. تعرض لك الحاسبة الحجم بالوحدات المكعّبة، والارتفاع المائل، والمساحة الجانبية (السطح المنحني)، ومساحة كل وجه دائري، ومساحة السطح الكلية. فإذا كان نصف القطر العلوي يساوي صفرًا تحوّل المجسم إلى مخروط كامل، وإذا تساوى \(R\) مع \(r\) أصبح أسطوانة.
شرح المعادلات
يعتمد حساب الحجم على قاعدة متوسط المقاطع العرضية: $$V = \frac{1}{3}\pi\,\text{h}\left(\text{R}^{2} + \text{R}\,\text{r} + \text{r}^{2}\right)$$ أما الارتفاع المائل فهو المسافة المستقيمة على طول الجانب المائل، ويُحسب بنظرية فيثاغورس: $$s = \sqrt{\left(\text{R} - \text{r}\right)^{2} + \text{h}^{2}}$$ والسطح المنحني المحيط بالمخروط الناقص مساحته الجانبية \(A_L = \pi\left(\text{R} + \text{r}\right)s\). وبإضافة مساحتي الوجهين الدائريين (\(\pi\,\text{R}^{2}\) و \(\pi\,\text{r}^{2}\)) نحصل على مساحة السطح الكلية.
مثال محلول
عند \(R = 5\) و \(r = 3\) و \(h = 8\): $$V = \frac{1}{3}\pi\cdot 8\cdot\left(25 + 15 + 9\right) = \frac{1}{3}\pi\cdot 8\cdot 49 \approx 410.50 \text{ وحدة مكعّبة.}$$ الارتفاع المائل \(= \sqrt{\left(5-3\right)^{2} + 8^{2}} = \sqrt{4 + 64} = \sqrt{68} \approx 8.246\). المساحة الجانبية \(= \pi\cdot\left(5+3\right)\cdot 8.246 \approx 207.23\) وحدة مربّعة.
الأسئلة الشائعة
هل القيمة \(h\) هي الارتفاع المائل أم الرأسي؟ أدخل الارتفاع الرأسي (العمودي)، أما الارتفاع المائل فتحسبه الأداة نيابةً عنك.
ما الوحدات التي تستخدمها؟ أي وحدة تشاء، شرط أن تشترك \(R\) و \(r\) و \(h\) في الوحدة نفسها. فيخرج الحجم بالوحدة المكعّبة وتخرج المساحات بالوحدة المربّعة.
هل ترتيب \(R\) و \(r\) مهم؟ لا، فالمعادلات متماثلة؛ لذا فإن تبديل نصفي القطر يعطي الحجم ومساحة السطح ذاتهما.
