Калькулятор усечённого конуса

Введите расчет

Радиус нижнего основания (R)

Радиус верхнего основания (r)

Высота (h)

Математическая формула

Show calculation steps (2)

1. Slant Height

   

   Slant height along the lateral side

2. Total Surface Area

   

   Lateral area plus top and bottom circle areas; s is the slant height

Результатов

Объём

410,5

кубических единиц

Образующая	8,2462
Боковая площадь поверхности	207,25
Площадь верхнего основания	28,27
Площадь нижнего основания	78,54
Полная площадь поверхности	314,06

Что такое усечённый конус?

Усечённый конус — это тело, которое получается, если у прямого кругового конуса срезать вершину плоскостью, параллельной основанию. В итоге остаётся конус с двумя круглыми гранями: большим нижним основанием радиуса R и меньшим верхним радиуса r, между которыми лежит высота h. Такую форму имеют, например, стаканы, абажуры, вёдра и цветочные горшки.

Усечённый конус с верхним радиусом \(r\), нижним радиусом \(R\), высотой \(h\) и образующей \(l\).

Как пользоваться калькулятором

Введите радиус нижнего основания (\(R\)), радиус верхнего основания (\(r\)) и высоту (\(h\)) в любых единицах измерения — главное, чтобы они совпадали. Калькулятор выдаст объём в кубических единицах, длину образующей, боковую (изогнутую) площадь поверхности, площадь каждого круглого основания и полную площадь поверхности. Если верхний радиус равен нулю, фигура превращается в полный конус; если \(R\) равно \(r\) — в цилиндр.

Разбираем формулы

Объём вычисляется по правилу среднего сечения:

$$V = \frac{1}{3}\pi\,h\left(R^{2} + R\,r + r^{2}\right)$$

Образующая — это длина наклонной стороны по прямой; её находят по теореме Пифагора:

$$\ell = \sqrt{\left(R - r\right)^{2} + h^{2}}$$

Изогнутая поверхность, охватывающая конус, имеет боковую площадь \(A_L = \pi\left(R + r\right)\ell\). Прибавив площади двух круглых оснований (\(\pi R^{2}\) и \(\pi r^{2}\)), получаем полную площадь поверхности.

Реклама

Развёртка боковой поверхности усечённого конуса помогает понять формулу боковой площади.

Пример расчёта

Пусть \(R = 5\), \(r = 3\), \(h = 8\):

$$V = \frac{1}{3}\cdot\pi\cdot 8\cdot\left(25 + 15 + 9\right) = \frac{1}{3}\cdot\pi\cdot 8\cdot 49 \approx 410{,}50 \text{ кубических единиц.}$$

Образующая:

$$\ell = \sqrt{\left(5-3\right)^{2} + 8^{2}} = \sqrt{4 + 64} = \sqrt{68} \approx 8{,}246$$

Боковая площадь:

$$A_L = \pi\cdot\left(5+3\right)\cdot 8{,}246 \approx 207{,}23 \text{ квадратных единиц.}$$

Часто задаваемые вопросы

h — это образующая или вертикальная высота? Вводите вертикальную (перпендикулярную) высоту. Образующую калькулятор рассчитает сам.

Какие единицы измерения использовать? Любые — лишь бы \(R\), \(r\) и \(h\) были в одной и той же единице. Объём получится в кубе, площади — в квадрате.

Важен ли порядок R и r? Нет. Формулы симметричны, поэтому, поменяв радиусы местами, вы получите тот же объём и ту же площадь поверхности.