원뿔대란?
원뿔대는 직원뿔의 꼭대기를 밑면과 평행하게 잘라냈을 때 남는 입체도형입니다. 잘린 원뿔이라고도 부르며, 두 개의 원형 면을 가집니다. 아래쪽에는 반지름이 \(R\)인 큰 원, 위쪽에는 반지름이 \(r\)인 작은 원이 있고, 두 면은 수직 높이 \(h\)만큼 떨어져 있습니다. 우리 주변에서 흔히 볼 수 있는 종이컵, 전등갓, 양동이, 화분 등이 모두 원뿔대 모양입니다.
계산기 사용법
아래 반지름(\(R\)), 위 반지름(\(r\)), 그리고 수직 높이(\(h\))를 동일한 단위로 입력하세요. 계산기가 부피(세제곱 단위), 모선 길이, 옆면(곡면)의 넓이, 위·아래 원형 면의 각 넓이, 그리고 전체 겉넓이를 한 번에 구해 줍니다. 위 반지름을 0으로 입력하면 완전한 원뿔이 되고, \(R\)과 \(r\)이 같으면 원기둥이 됩니다.
공식 살펴보기
부피는 단면적의 평균을 활용한 공식으로 구합니다:
$$V = \frac{1}{3}\cdot\pi\cdot h\cdot(R^{2} + R\cdot r + r^{2})$$모선 길이는 경사진 옆면을 따라 잰 직선 거리로, 피타고라스 정리를 이용해
$$\ell = \sqrt{(R - r)^{2} + h^{2}}$$로 구합니다. 원뿔대를 감싸는 곡면(옆면)의 넓이는
$$A_L = \pi\cdot(R + r)\cdot\ell$$입니다. 여기에 위·아래 두 원의 넓이(\(\pi\cdot R^{2}\)와 \(\pi\cdot r^{2}\))를 더하면 전체 겉넓이가 됩니다.
예제 풀이
\(R = 5\), \(r = 3\), \(h = 8\)일 때를 계산해 봅시다. 부피는
$$V = \frac{1}{3}\cdot\pi\cdot 8\cdot(25 + 15 + 9) = \frac{1}{3}\cdot\pi\cdot 8\cdot 49 \approx 410.50$$세제곱 단위입니다. 모선 길이는
$$\sqrt{(5-3)^{2} + 8^{2}} = \sqrt{4 + 64} = \sqrt{68} \approx 8.246$$이 됩니다. 옆넓이는
$$\pi\cdot(5+3)\cdot 8.246 \approx 207.23$$제곱 단위입니다.
자주 묻는 질문
h에는 모선 길이를 넣나요, 수직 높이를 넣나요? 수직(직각) 높이를 입력하세요. 모선 길이는 계산기가 자동으로 구해 줍니다.
어떤 단위를 사용하나요? 어떤 단위든 상관없지만 \(R\), \(r\), \(h\)를 모두 같은 단위로 맞춰야 합니다. 부피는 세제곱 단위, 넓이는 제곱 단위로 나옵니다.
R과 r의 순서가 결과에 영향을 주나요? 아니요. 공식이 대칭이라서 두 반지름을 서로 바꿔 넣어도 부피와 겉넓이는 동일하게 나옵니다.
