什麼是圓錐台？
圓錐台是把一個正圓錐的頂端，沿著與底面平行的方向切掉一塊後所留下的立體。切完之後就形成一個「截頂圓錐」，上下各有一個圓形面：底面半徑較大（R），頂面半徑較小（r），兩者之間相隔一段垂直高度（h）。生活中常見的例子包括水杯、燈罩、水桶與花盆等。
計算機怎麼使用
只要輸入底面半徑（R）、頂面半徑（r）與垂直高度（h），單位可任意選用，但三者必須一致。計算機會自動算出體積（立方單位）、斜高、側面（曲面）表面積、上下兩個圓面的面積，以及總表面積。若頂面半徑等於 0，圓錐台就會變成一個完整的圓錐；若 R 等於 r，則會變成一個圓柱。
公式說明
體積採用「截面平均」的原理計算：
$$V = \frac{1}{3}\pi\,\text{h}\left(\text{R}^{2} + \text{R}\,\text{r} + \text{r}^{2}\right)$$斜高是沿著傾斜側邊量得的直線距離，可用畢氏定理求得：
$$\ell = \sqrt{\left(\text{R} - \text{r}\right)^{2} + \text{h}^{2}}$$包覆圓錐台的曲面側表面積為
$$A_L = \pi\left(\text{R} + \text{r}\right)\ell$$再加上上下兩個圓面（\(\pi\,\text{R}^{2}\) 與 \(\pi\,\text{r}^{2}\)），即可得到總表面積。
Advertisement
實際範例
假設 \(R = 5\)、\(r = 3\)、\(h = 8\)：
$$V = \frac{1}{3}\cdot\pi\cdot 8\cdot\left(25 + 15 + 9\right) = \frac{1}{3}\cdot\pi\cdot 8\cdot 49 \approx 410.50 \text{ 立方單位}$$斜高 \(= \sqrt{\left(5-3\right)^{2} + 8^{2}} = \sqrt{4 + 64} = \sqrt{68} \approx 8.246\)。側表面積 \(= \pi\cdot\left(5+3\right)\cdot 8.246 \approx 207.23\) 平方單位。
常見問題
h 是斜高還是垂直高度？請輸入垂直（與底面垂直）的高度，斜高會由計算機自動算出。
可以用什麼單位？任何單位都可以，只要 R、r、h 三者使用相同單位即可。體積結果為立方單位，面積為平方單位。
R 與 r 的輸入順序會影響結果嗎？不會。公式具有對稱性，因此交換兩個半徑的值，所得的體積與表面積完全相同。
