Что считает этот калькулятор
Инструмент рассчитывает геометрию прямого кругового конуса, рассечённого наклонной плоскостью. Плоскость поворачивается вокруг точки на центральной оси конуса, поэтому она разрезает фигуру косо: с одной стороны линия среза поднимается, а с противоположной — опускается. Мы оставляем нижнюю часть тела: снизу её ограничивает круглое основание, а сверху — наклонная эллиптическая поверхность среза. Калькулятор выдаёт три величины: оставшийся объём \(V\), площадь наклонного сечения \(S_u\) и площадь основания \(S_B\). Всё это — чистая геометрия тел, поэтому формулы работают одинаково в любой точке мира; нужно лишь использовать одну и ту же единицу длины.
Как пользоваться
Введите высоту конуса \(H\), радиус основания \(R\), радиус \(r\) горизонтального сечения на том уровне, где секущая плоскость пересекает ось, и угол наклона \(\theta\) в градусах. Все три длины задавайте в одной и той же единице измерения: тогда объём получится в кубе этой единицы, а площади — в квадрате. Угол среза должен удовлетворять условию \(0 \le \theta < 90\) градусов, радиус \(R\) обязан быть положительным, а \(r\) — лежать в пределах от \(0\) до \(R\).
Разбор формулы
Площадь основания вычисляется элементарно: \(S_B = \pi R^2\). Наклонный срез представляет собой эллипс, горизонтальная проекция которого — круг радиуса \(r\); наклон на угол \(\theta\) растягивает площадь в \(1/\cos\theta\) раз, поэтому \(S_u = \pi r^2 / \cos\theta\). Объём складывается из усечённого конуса (от радиуса основания \(R\) до радиуса опорной точки \(r\) при вертикальном подъёме \(h_p = H(R-r)/R\)) и косого клина \(\frac{2}{3} r^3 \tan\theta\), учитывающего наклон:
$$V = \frac{\pi h_p}{3}\left(R^2 + R\,r + r^2\right) + \frac{2}{3}\,r^3 \tan\theta$$
Пример расчёта
Пусть \(H=5\), \(R=8\), \(r=3\), \(\theta=15^\circ\): \(\cos 15^\circ=0{,}9659258\), \(\tan 15^\circ=0{,}2679492\). Площадь основания \(= \pi\cdot 64 = 201{,}062\). Площадь среза \(= \pi\cdot 9 / 0{,}9659258 = 29{,}2738\). \(h_p = 5\cdot(8-3)/8 = 3{,}125\); усечённый конус \(= (\pi\cdot 3{,}125/3)\cdot(64+24+9) = 317{,}432\); клин \(= 0{,}6667\cdot 27\cdot 0{,}2679492 = 4{,}823\). Объём \(V \approx 322{,}255\).
Частые вопросы
Что происходит при \(\theta = 0\)? Срез становится горизонтальным: \(S_u = \pi r^2\), а слагаемое-клин обращается в ноль — остаётся только объём усечённого конуса.
Почему \(\theta\) должен быть меньше 90 градусов? При приближении \(\theta\) к \(90^\circ\) косинус стремится к нулю, и площадь наклонного среза уходит в бесконечность, поэтому такая конфигурация недопустима.
В каких единицах получается ответ? В тех же, что вы задали для длин. Если \(H\), \(R\) и \(r\) указаны в сантиметрах, объём выйдет в кубических сантиметрах, а площади — в квадратных сантиметрах.
