Что вычисляет этот калькулятор
Калькулятор анализирует прямой круговой конус (радиус основания r, высота h), который рассекается одной вертикальной плоскостью, параллельной оси конуса. Он определяет геометрические характеристики меньшей отсечённой части: её объём, площадь основания (кругового сегмента основания конуса), площадь криволинейной боковой поверхности, площадь плоского вертикального среза, а также сами параметры сегмента — центральный угол, длину дуги и длину хорды.
Как пользоваться
Вводите все три длины в одних и тех же единицах измерения (выбора единиц нет). Радиус основания \(r\) и высота \(h\) задают сам конус. Высота сегмента \(a\) (стрелка сегмента, сагитта) — это глубина среза, измеренная от хорды разреза до дальнего края окружности основания; она должна удовлетворять условию \(0 < a \le r\). При \(a = r\) плоскость проходит через центр, и вы получаете ровно половину конуса; при малом \(a\) срез превращается в тонкую дольку.
Разбор формулы
Сначала находим безразмерный параметр \(k = 1 - a/r\) — это косинус половины угла, опирающегося на хорду. Центральный угол равен \(\theta = 2\arccos(k)\) радиан. Основание представляет собой круговой сегмент площадью $$S_B = \frac{r^{2}}{2}\left(\theta - \sin\theta\right).$$ Поскольку конус — это, по сути, набор подобных уменьшающихся сечений над основанием, объём над любой плоской фигурой основания равен одной трети произведения её площади на высоту, то есть $$V = \frac{1}{3} \cdot S_B \cdot h.$$ Боковая поверхность над дугой составляет долю \(\theta/(2\pi)\) от полной боковой поверхности конуса \(\pi r\sqrt{r^{2}+h^{2}}\), что даёт $$S_L = \frac{\theta}{2} \cdot r\sqrt{r^{2}+h^{2}}.$$ Сам вертикальный срез — это треугольник с основанием, равным хорде \(c\), и высотой, равной высоте конуса \(h\), поэтому \(S_h = \tfrac{1}{2}ch\).
Пример расчёта
Пусть \(r = 5\), \(h = 7\), \(a = 3\): \(k = 0{,}4\), \(\theta = 2\arccos(0{,}4) = 2{,}3186\) рад, хорда \(c = 9{,}1652\), дуга \(L = 11{,}5928\). Площадь сегмента основания $$S_B = 12{,}5\cdot(2{,}3186 - 0{,}7332) = 19{,}8168,$$ откуда $$V = \frac{1}{3}\cdot 19{,}8168\cdot 7 \approx 46{,}2393.$$ Образующая равна \(\sqrt{74} = 8{,}6023\), что даёт \(S_L \approx 49{,}8657\), а площадь сечения \(S_h = \tfrac{1}{2}\cdot 9{,}1652\cdot 7 \approx 32{,}0780\).
Частые вопросы
Это косой срез? Нет. Плоскость вертикальна (параллельна оси), поэтому срез — это плоский треугольник, а основание — круговой сегмент, а не эллипс.
Что будет, если a равно r? Тогда \(k = 0\), \(\theta = \pi\), и вы получаете ровно половину объёма всего конуса — \(\pi r^{2}h/6\).
В каких единицах выводятся результаты? Длины — в тех же единицах, что вы ввели; площади — в единицах², объём — в единицах³. Углы измеряются в радианах.
