Qué hace esta calculadora
Esta herramienta analiza un cono circular recto (radio de la base r, altura h) que se corta con un único plano vertical, paralelo al eje del cono. Calcula las propiedades geométricas del trozo más pequeño que queda separado: su volumen, el área de su base (un segmento circular del círculo de la base), el área de su superficie lateral curva, el área plana del corte vertical y las magnitudes que definen el segmento: el ángulo central, la longitud del arco y la cuerda.
Cómo usarla
Introduce las tres longitudes en la misma unidad (no hay menú de unidades). El radio de la base \(r\) y la altura \(h\) definen el cono. La altura del segmento \(a\) (la flecha o sagita) es la profundidad del corte, medida desde la cuerda del corte hasta el borde más alejado del círculo de la base, y debe cumplir \(0 < a \le r\). Cuando \(a = r\) el plano pasa por el centro y obtienes exactamente la mitad del cono; cuando \(a\) es pequeña, el corte es una rebanada muy fina.
La fórmula explicada
Primero se calcula el parámetro adimensional \(k = 1 - a/r\), que es el coseno del semiángulo abarcado por la cuerda. El ángulo central es \(\theta = 2\cdot\arccos(k)\) radianes. La región de la base es un segmento circular de área $$S_B = \frac{r^2}{2}(\theta - \sin\theta).$$ Como un cono es una pila escalada de su base, el volumen situado por encima de cualquier región plana de la base es un tercio de esa área por la altura, así que $$V = \frac{1}{3}\cdot S_B\cdot h.$$ La superficie lateral sobre el arco es la fracción \(\theta/(2\pi)\) de la superficie lateral total del cono \(\pi r\sqrt{r^2+h^2}\), lo que da $$S_L = \frac{\theta}{2}\cdot r\sqrt{r^2+h^2}.$$ El propio corte vertical es un triángulo cuya base es la cuerda \(c\) y cuya altura es la del cono \(h\), de modo que $$S_h = \tfrac{1}{2}ch.$$
Ejemplo resuelto
Para \(r = 5\), \(h = 7\), \(a = 3\): \(k = 0{,}4\), \(\theta = 2\cdot\arccos(0{,}4) = 2{,}3186\) rad, cuerda \(c = 9{,}1652\), arco \(L = 11{,}5928\). El segmento de la base $$S_B = 12{,}5\cdot(2{,}3186 - 0{,}7332) = 19{,}8168,$$ por lo que $$V = \tfrac{1}{3}\cdot 19{,}8168\cdot 7 \approx 46{,}2393.$$ La generatriz mide \(\sqrt{74} = 8{,}6023\), lo que da \(S_L \approx 49{,}8657\) y el área de la sección $$S_h = \tfrac{1}{2}\cdot 9{,}1652\cdot 7 \approx 32{,}0780.$$
Preguntas frecuentes
¿Es un corte inclinado? No. El plano es vertical (paralelo al eje), así que el corte es un triángulo plano y la base es un segmento circular, no una elipse.
¿Qué ocurre si a es igual a r? Entonces \(k = 0\), \(\theta = \pi\) y obtienes exactamente la mitad del volumen del cono completo, \(\pi r^2 h/6\).
¿En qué unidades se expresan los resultados? Las longitudes comparten la unidad que hayas introducido; las áreas salen en unidad² y el volumen en unidad³. Los ángulos se dan en radianes.
