이 계산기의 기능
이 도구는 밑면 반지름 r, 높이 h인 직원뿔을 원뿔의 축과 나란한 하나의 수직 평면으로 잘랐을 때를 분석합니다. 잘려 나온 작은 조각의 기하학적 성질, 즉 부피, 밑면 넓이(밑면 원의 활꼴), 곡면 옆면적, 수직 절단면의 평평한 넓이, 그리고 활꼴을 정의하는 값들 — 중심각, 호의 길이, 현의 길이를 함께 계산해 줍니다.
사용 방법
세 가지 길이는 모두 같은 단위로 입력하세요(단위 선택 메뉴는 없습니다). 밑면 반지름 \(r\)과 높이 \(h\)가 원뿔을 정의합니다. 활꼴 높이 \(a\)(사지타, sagitta)는 절단 평면의 깊이로, 절단 현에서 밑면 원의 가장 먼 가장자리까지 잰 거리이며 \(0 < a \le r\) 을 만족해야 합니다. \(a = r\)이면 평면이 중심을 지나 원뿔의 정확히 절반이 되고, \(a\)가 작으면 얇은 조각이 잘려 나옵니다.
공식 설명
먼저 무차원 변수 \(k = 1 - a/r\) 을 계산합니다. 이것은 현이 이루는 반각의 코사인 값입니다. 중심각은 $$\theta = 2\cdot\arccos(k)$$ 라디안입니다. 밑면 영역은 넓이가 $$S_B = \frac{r^2}{2}(\theta - \sin\theta)$$ 인 원의 활꼴입니다. 원뿔은 밑면을 비율에 따라 쌓아 올린 형태이므로, 임의의 평면 밑면 영역 위쪽의 부피는 그 넓이에 높이를 곱한 값의 3분의 1이 됩니다. 따라서 $$V = \frac{1}{3}\cdot S_B\cdot h$$ 입니다. 호 위쪽의 옆면적은 전체 원뿔 옆면적 \(\pi r\sqrt{r^2+h^2}\) 의 \(\theta/(2\pi)\) 비율에 해당하므로 $$S_L = \frac{\theta}{2}\cdot r\sqrt{r^2+h^2}$$ 입니다. 수직 절단면 자체는 밑변이 현 \(c\), 높이가 원뿔 높이 \(h\)인 삼각형이므로 $$S_h = \tfrac{1}{2}ch$$ 입니다.
계산 예시
\(r = 5\), \(h = 7\), \(a = 3\) 인 경우: \(k = 0.4\), \(\theta = 2\cdot\arccos(0.4) = 2.3186\) 라디안, 현 \(c = 9.1652\), 호 \(L = 11.5928\) 입니다. 밑면 활꼴은 $$S_B = 12.5\cdot(2.3186 - 0.7332) = 19.8168$$ 이므로 $$V = \frac{1}{3}\cdot 19.8168\cdot 7 \approx 46.2393$$ 입니다. 모선 길이는 \(\sqrt{74} = 8.6023\) 이므로 \(S_L \approx 49.8657\), 절단면 넓이는 $$S_h = \tfrac{1}{2}\cdot 9.1652\cdot 7 \approx 32.0780$$ 입니다.
자주 묻는 질문
이것은 비스듬한 절단인가요? 아닙니다. 평면이 수직(축과 나란함)이므로 절단면은 평평한 삼각형이고, 밑면은 타원이 아니라 원의 활꼴입니다.
a가 r과 같으면 어떻게 되나요? 이때 \(k = 0\), \(\theta = \pi\) 가 되어 전체 원뿔 부피의 정확히 절반인 \(\pi r^2 h/6\) 이 됩니다.
출력값의 단위는 무엇인가요? 길이는 입력한 단위를 그대로 따르고, 넓이는 단위², 부피는 단위³ 로 나옵니다. 각도는 라디안 단위입니다.
