この計算ツールでできること
このツールは、底面の半径 r、高さ h の直円錐を、軸に平行な1枚の垂直な平面で縦に切断した場合を扱います。切り取られた小さい方の部分について、その体積、底面（底円の弓形部分）の面積、曲面である側面積、垂直な切断面の平らな面積、さらに弓形を決める各量（中心角・弧長・弦の長さ）を計算します。
使い方
3つの長さはすべて同じ単位で入力してください（単位の選択欄はありません）。底面の半径 \(r\) と高さ \(h\) で円錐が決まります。切片高さ \(a\)（矢の高さ＝サジッタ）は切断の深さで、切断面の弦から底円のもっとも遠い縁までの距離を表し、\(0 < a \le r\) を満たす必要があります。\(a = r\) のとき平面は中心を通り、円錐のちょうど半分が得られます。\(a\) が小さいときは薄いくさび状の断片になります。
計算式の解説
まず無次元のパラメータ \(k = 1 - a/r\) を求めます。これは弦が張る半角の余弦に当たります。中心角は \(\theta = 2\cdot\arccos(k)\)（ラジアン）です。底面となる領域は面積 \(S_B = \frac{r^{2}}{2}(\theta - \sin\theta)\) の弓形です。円錐は底面を相似拡大して積み重ねた立体なので、任意の平面状の底面の上にできる立体の体積はその面積と高さの積の3分の1になります。したがって $$V = \frac{1}{3}\cdot S_B\cdot h$$ です。弧の上にできる側面は、円錐全体の側面積 \(\pi r\sqrt{r^{2}+h^{2}}\) のうち \(\theta/(2\pi)\) の割合を占めるので、\(S_L = \frac{\theta}{2}\cdot r\sqrt{r^{2}+h^{2}}\) となります。垂直な切断面そのものは、底辺が弦 \(c\)、高さが円錐の高さ \(h\) の三角形なので、\(S_h = \frac{1}{2}ch\) です。
計算例
\(r = 5\)、\(h = 7\)、\(a = 3\) の場合：\(k = 0.4\)、\(\theta = 2\cdot\arccos(0.4) = 2.3186\) ラジアン、弦 \(c = 9.1652\)、弧 \(L = 11.5928\) となります。底面の弓形は $$S_B = 12.5\cdot(2.3186 - 0.7332) = 19.8168$$ なので、$$V = \frac{1}{3}\cdot 19.8168\cdot 7 \approx 46.2393$$ です。母線の長さは \(\sqrt{74} = 8.6023\) で、側面積は \(S_L \approx 49.8657\)、切断面積は \(S_h = \frac{1}{2}\cdot 9.1652\cdot 7 \approx 32.0780\) となります。
よくある質問
これは斜めの切断ですか？ いいえ。平面は垂直（軸に平行）なので、切断面は平らな三角形になり、底面は楕円ではなく円の弓形になります。
a が r と等しいときは？ このとき \(k = 0\)、\(\theta = \pi\) となり、円錐全体のちょうど半分の体積 \(\pi r^{2}h/6\) が得られます。
出力の単位は？ 長さは入力した単位と同じになります。面積は単位\(^2\)、体積は単位\(^3\)で表示され、角度はラジアンです。
