ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحلّل هذه الأداة مخروطاً دائرياً قائماً (نصف قطر القاعدة r، والارتفاع h) مقطوعاً بمستوى قطع عمودي واحد موازٍ لمحور المخروط. وتحسب الخصائص الهندسية للجزء الأصغر المقتطع، وهي: حجمه، ومساحة قاعدته (وهي قطعة دائرية من دائرة القاعدة)، ومساحة سطحه الجانبي المنحني، ومساحة القطع العمودي المستوي، إضافة إلى مقادير القطعة الدائرية المميِّزة لها — الزاوية المركزية، وطول القوس، وطول الوتر.
طريقة الاستخدام
أدخِل الأطوال الثلاثة جميعها بـالوحدة نفسها (لا توجد قائمة لاختيار الوحدات). يحدّد نصف قطر القاعدة \(r\) والارتفاع \(h\) شكل المخروط. أمّا ارتفاع القطعة \(a\) (السهم) فهو عمق الشريحة، ويُقاس من وتر القطع إلى أبعد حافة من دائرة القاعدة، ويجب أن يحقق الشرط \(0 < a \le r\). وعندما يكون \(a = r\) يمر المستوى عبر المركز فتحصل على نصف المخروط تماماً؛ وكلما صغرت قيمة \(a\) كانت الشريحة أرقّ وأنحف.
شرح المعادلة
احسب أولاً المعامل عديم البُعد \(k = 1 - a/r\)، وهو جيب تمام نصف الزاوية التي يقابلها الوتر. والزاوية المركزية هي \(\theta = 2\cdot\arccos(k)\) بالراديان. أمّا منطقة القاعدة فهي قطعة دائرية مساحتها $$S_B = \frac{r^{2}}{2}\left(\theta - \sin\theta\right).$$ وبما أنّ المخروط ما هو إلا مجموعة من القاعدة متناقصة الحجم، فإنّ الحجم الواقع فوق أيّ منطقة قاعدة مستوية يساوي ثُلث مساحة تلك المنطقة مضروبة في الارتفاع، أي $$V = \frac{1}{3}\cdot S_B\cdot h.$$ أمّا السطح الجانبي فوق القوس فهو الكسر \(\theta/(2\pi)\) من كامل السطح الجانبي للمخروط \(\pi r\sqrt{r^{2}+h^{2}}\)، ومنه $$S_L = \frac{\theta}{2}\cdot r\sqrt{r^{2}+h^{2}}.$$ وأمّا القطع العمودي نفسه فهو مثلث قاعدته الوتر \(c\) وارتفاعه ارتفاع المخروط \(h\)، أي \(S_h = \tfrac{1}{2}ch\).
مثال محلول
لنفرض \(r = 5\)، \(h = 7\)، \(a = 3\): عندئذٍ \(k = 0.4\)، و\(\theta = 2\cdot\arccos(0.4) = 2.3186\) راديان، والوتر \(c = 9.1652\)، وطول القوس \(L = 11.5928\). ومساحة القطعة عند القاعدة \(S_B = 12.5\cdot(2.3186 - 0.7332) = 19.8168\)، ومنه $$V = \frac{1}{3}\cdot 19.8168\cdot 7 \approx 46.2393.$$ والارتفاع المائل هو \(\sqrt{74} = 8.6023\)، فينتج \(S_L \approx 49.8657\)، ومساحة المقطع \(S_h = \tfrac{1}{2}\cdot 9.1652\cdot 7 \approx 32.0780\).
الأسئلة الشائعة
هل هذا قطع مائل؟ لا. المستوى عمودي (موازٍ للمحور)، لذا يكون القطع مثلثاً مستوياً وتكون القاعدة قطعة دائرية، لا قطعاً ناقصاً (إهليلجاً).
ماذا لو كان \(a\) مساوياً لـ \(r\)؟ عندئذٍ يكون \(k = 0\)، و\(\theta = \pi\)، فتحصل على نصف حجم المخروط الكامل تماماً، أي \(\pi r^{2}h/6\).
ما الوحدات التي تظهر بها النتائج؟ تشترك الأطوال في الوحدة نفسها التي تُدخِلها؛ وتظهر المساحات بالوحدة² والحجم بالوحدة³. أمّا الزوايا فتُقاس بالراديان.
