Công cụ này dùng để làm gì
Công cụ phân tích một hình nón tròn xoay (bán kính đáy r, chiều cao h) được cắt bởi một mặt phẳng thẳng đứng song song với trục của nón. Nó tính toàn bộ các đại lượng hình học của phần nhỏ hơn bị cắt ra: thể tích, diện tích đáy (một hình viên phân của đường tròn đáy), diện tích mặt bên cong, diện tích phẳng của mặt cắt thẳng đứng, cùng các đại lượng đặc trưng của viên phân — góc ở tâm, độ dài cung và độ dài dây cung.
Cách sử dụng
Hãy nhập cả ba độ dài theo cùng một đơn vị (công cụ không có ô chọn đơn vị). Bán kính đáy \(r\) và chiều cao \(h\) xác định hình nón. Độ sâu mặt cắt \(a\) (đoạn sagitta) là khoảng cách đo từ dây cung tới mép xa nhất của đường tròn đáy, và phải thỏa mãn \(0 < a \le r\). Khi \(a = r\), mặt phẳng đi qua tâm và bạn nhận được đúng một nửa hình nón; khi \(a\) nhỏ, phần cắt ra chỉ là một lát mỏng.
Giải thích công thức
Trước hết tính tham số không thứ nguyên \(k = 1 - a/r\), chính là cosin của nửa góc chắn bởi dây cung. Góc ở tâm là $$\theta = 2\cdot\arccos(k)\ \text{radian}.$$ Vùng đáy là một hình viên phân có diện tích $$S_B = \frac{r^2}{2}(\theta - \sin\theta).$$ Vì hình nón là chồng các lớp tỉ lệ của đáy nên thể tích phía trên một vùng đáy phẳng bất kỳ bằng một phần ba diện tích nhân với chiều cao, do đó $$V = \frac{1}{3}\cdot S_B\cdot h.$$ Mặt bên phía trên cung chiếm tỉ lệ \(\theta/(2\pi)\) của toàn bộ mặt bên hình nón \(\pi r\sqrt{r^2+h^2}\), nên $$S_L = \frac{\theta}{2}\cdot r\sqrt{r^2+h^2}.$$ Bản thân mặt cắt thẳng đứng là một tam giác có đáy bằng dây cung \(c\) và chiều cao bằng chiều cao \(h\) của nón, vậy \(S_h = \tfrac{1}{2}ch\).
Ví dụ minh họa
Với \(r = 5\), \(h = 7\), \(a = 3\): \(k = 0{,}4\), \(\theta = 2\cdot\arccos(0{,}4) = 2{,}3186\ \text{rad}\), dây cung \(c = 9{,}1652\), cung \(L = 11{,}5928\). Diện tích viên phân đáy $$S_B = 12{,}5\cdot(2{,}3186 - 0{,}7332) = 19{,}8168,$$ nên $$V = \frac{1}{3}\cdot 19{,}8168\cdot 7 \approx 46{,}2393.$$ Đường sinh bằng \(\sqrt{74} = 8{,}6023\), cho \(S_L \approx 49{,}8657\) và diện tích mặt cắt \(S_h = \tfrac{1}{2}\cdot 9{,}1652\cdot 7 \approx 32{,}0780\).
Câu hỏi thường gặp
Đây có phải là mặt cắt nghiêng không? Không. Mặt phẳng cắt thẳng đứng (song song với trục), nên mặt cắt là một tam giác phẳng và đáy là một hình viên phân chứ không phải hình elip.
Nếu \(a\) bằng \(r\) thì sao? Khi đó \(k = 0\), \(\theta = \pi\) và bạn nhận được đúng một nửa thể tích hình nón, tức \(\pi r^2 h/6\).
Kết quả dùng đơn vị nào? Các độ dài dùng chung đơn vị mà bạn nhập vào; diện tích có đơn vị² còn thể tích có đơn vị³. Các góc được tính bằng radian.
