यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल एक लंब वृत्तीय शंकु (आधार त्रिज्या r, ऊँचाई h) का विश्लेषण करता है, जिसे शंकु के अक्ष के समानांतर एक ही लंबवत तल से काटा जाता है। यह कटकर अलग हुए छोटे टुकड़े के ज्यामितीय गुणों की गणना करता है: इसका आयतन, इसके आधार का क्षेत्रफल (आधार वृत्त का एक वृत्तीय खंड), इसकी वक्र पार्श्व सतह का क्षेत्रफल, लंबवत काट का समतल क्षेत्रफल, और खंड को परिभाषित करने वाली राशियाँ — केंद्रीय कोण, चाप की लंबाई और जीवा।
इसका उपयोग कैसे करें
तीनों लंबाइयाँ एक ही इकाई में दर्ज करें (यहाँ इकाई चुनने का विकल्प नहीं है)। आधार त्रिज्या \(r\) और ऊँचाई \(h\) मिलकर शंकु को परिभाषित करते हैं। खंड ऊँचाई \(a\) (सैजिटा) काट की गहराई है, जिसे काटने वाली जीवा से लेकर आधार वृत्त के दूर वाले किनारे तक मापा जाता है, और इसे \(0 < a \le r\) का पालन करना चाहिए। जब \(a = r\) होता है, तो तल केंद्र से होकर गुजरता है और आपको ठीक आधा शंकु मिलता है; जब \(a\) छोटा होता है, तो काट एक पतली सी फाँक होती है।
सूत्र की व्याख्या
सबसे पहले विमारहित प्राचल \(k = 1 - a/r\) की गणना करें, जो जीवा द्वारा बनाए गए अर्ध-कोण की कोज्या (cosine) है। केंद्रीय कोण \(\theta = 2\cdot\arccos(k)\) रेडियन होता है। आधार क्षेत्र एक वृत्तीय खंड है जिसका क्षेत्रफल $$S_B = \frac{r^{2}}{2}(\theta - \sin\theta)$$ होता है। चूँकि शंकु अपने आधार का एक मापित ढेर है, इसलिए किसी भी समतल आधार क्षेत्र के ऊपर का आयतन उस क्षेत्रफल और ऊँचाई के गुणनफल का एक-तिहाई होता है, अर्थात् $$V = \frac{1}{3}\cdot S_B\cdot h.$$ चाप के ऊपर की पार्श्व सतह पूर्ण शंकु की पार्श्व सतह \(\pi r\sqrt{r^{2}+h^{2}}\) का \(\theta/(2\pi)\) अंश होती है, जिससे $$S_L = \frac{\theta}{2}\cdot r\sqrt{r^{2}+h^{2}}$$ प्राप्त होता है। लंबवत काट स्वयं एक त्रिभुज है जिसका आधार जीवा \(c\) के बराबर और ऊँचाई शंकु की ऊँचाई \(h\) के बराबर है, इसलिए \(S_h = \frac{1}{2}ch\)।
हल किया गया उदाहरण
\(r = 5\), \(h = 7\), \(a = 3\) के लिए: \(k = 0.4\), \(\theta = 2\cdot\arccos(0.4) = 2.3186\) रेडियन, जीवा \(c = 9.1652\), चाप \(L = 11.5928\)। आधार खंड \(S_B = 12.5\cdot(2.3186 - 0.7332) = 19.8168\), इसलिए $$V = \frac{1}{3}\cdot 19.8168\cdot 7 \approx 46.2393.$$ तिरछी ऊँचाई \(\sqrt{74} = 8.6023\) है, जिससे \(S_L \approx 49.8657\) और काट क्षेत्रफल \(S_h = \frac{1}{2}\cdot 9.1652\cdot 7 \approx 32.0780\) मिलता है।
सामान्य प्रश्न (FAQ)
क्या यह तिरछी काट है? नहीं। तल लंबवत होता है (अक्ष के समानांतर), इसलिए काट एक समतल त्रिभुज होती है और आधार एक वृत्तीय खंड होता है, दीर्घवृत्त (ellipse) नहीं।
अगर a, r के बराबर हो तो? तब \(k = 0\), \(\theta = \pi\) होता है, और आपको पूर्ण शंकु के आयतन का ठीक आधा मिलता है, यानी \(\pi r^{2}h/6\)।
परिणाम किन इकाइयों में आते हैं? लंबाइयाँ उसी इकाई में होती हैं जो आपने दर्ज की; क्षेत्रफल इकाई² में और आयतन इकाई³ में आता है। कोण रेडियन में होते हैं।
