Bu hesaplayıcı ne işe yarar?
Bu araç, ekseninе paralel tek bir dikey düzlemle kesilen bir dik dairesel koniyi (taban yarıçapı r, yükseklik h) inceler. Kesilip ayrılan küçük parçanın geometrik özelliklerini hesaplar: hacmi, tabanının alanı (taban dairesinin bir dairesel segmenti), eğrisel yanal yüzey alanı, dikey kesitin düz alanı ve segmenti tanımlayan büyüklükler — merkez açı, yay uzunluğu ve kiriş.
Nasıl kullanılır?
Üç uzunluğu da aynı birimle girin (birim seçme menüsü yoktur). Taban yarıçapı r ve yükseklik h koniyi tanımlar. Segment yüksekliği a (sajitta), kesimin derinliğidir; kesme kirişinden taban dairesinin karşı kenarına kadar ölçülür ve \(0 < a \le r\) koşulunu sağlamalıdır. \(a = r\) olduğunda düzlem merkezden geçer ve koninin tam yarısını elde edersiniz; \(a\) küçük olduğunda ise ince bir dilim ortaya çıkar.
Formülün açıklaması
Önce boyutsuz \(k = 1 - a/r\) parametresini hesaplayın; bu, kirişin gerdiği yarım açının kosinüsüdür. Merkez açı \(\theta = 2\cdot\arccos(k)\) radyandır. Taban bölgesi, alanı $$S_B = \frac{r^{2}}{2}\left(\theta - \sin\theta\right)$$ olan bir dairesel segmenttir. Bir koni, tabanının ölçeklenmiş bir yığını olduğundan, herhangi bir düzlemsel taban bölgesinin üzerindeki hacim, o alanın yüksekliğin üçte biriyle çarpımıdır; yani $$V = \frac{1}{3}\cdot S_B\cdot h.$$ Yay üzerindeki yanal yüzey, tam koninin yanal yüzeyi \(\pi r\sqrt{r^{2}+h^{2}}\) değerinin \(\theta/(2\pi)\) oranındadır; buradan $$S_L = \frac{\theta}{2}\cdot r\sqrt{r^{2}+h^{2}}$$ elde edilir. Dikey kesit ise tabanı kirişe \(c\), yüksekliği koni yüksekliğine \(h\) eşit bir üçgendir; dolayısıyla \(S_h = \frac{1}{2}ch\) olur.
Çözümlü örnek
\(r = 5\), \(h = 7\), \(a = 3\) için: \(k = 0{,}4\), \(\theta = 2\cdot\arccos(0{,}4) = 2{,}3186\) rad, kiriş \(c = 9{,}1652\), yay \(L = 11{,}5928\). Taban segmenti $$S_B = 12{,}5\cdot(2{,}3186 - 0{,}7332) = 19{,}8168$$ olur; dolayısıyla $$V = \frac{1}{3}\cdot 19{,}8168\cdot 7 \approx 46{,}2393.$$ Eğik yükseklik \(\sqrt{74} = 8{,}6023\) olduğundan \(S_L \approx 49{,}8657\) ve kesit alanı \(S_h = \frac{1}{2}\cdot 9{,}1652\cdot 7 \approx 32{,}0780\).
Sıkça sorulan sorular
Bu eğik bir kesim mi? Hayır. Düzlem dikeydir (eksene paralel), bu yüzden kesit düz bir üçgendir ve taban bir elips değil, bir dairesel segmenttir.
a, r'ye eşitse ne olur? O zaman \(k = 0\), \(\theta = \pi\) olur ve tam koni hacminin tam yarısını elde edersiniz: \(\pi r^{2}h/6\).
Çıktılar hangi birimleri kullanır? Uzunluklar girdiğiniz birimi paylaşır; alanlar birim², hacim ise birim³ cinsinden çıkar. Açılar radyan cinsindendir.
