Ce que fait ce calculateur
Cet outil étudie un cône circulaire droit (rayon de base r, hauteur h) sectionné par un unique plan de coupe vertical, parallèle à l'axe du cône. Il détermine les propriétés géométriques de la plus petite portion détachée : son volume, l'aire de sa base (un segment circulaire du cercle de base), sa surface latérale courbe, l'aire plane de la coupe verticale, ainsi que les grandeurs caractéristiques du segment — angle au centre, longueur d'arc et corde.
Comment l'utiliser
Saisissez les trois longueurs dans la même unité (il n'y a pas de menu d'unités). Le rayon de base \(r\) et la hauteur \(h\) définissent le cône. La hauteur du segment \(a\) (la flèche, ou sagitta) correspond à la profondeur de la tranche, mesurée depuis la corde de coupe jusqu'au bord opposé du cercle de base ; elle doit vérifier \(0 < a \le r\). Lorsque \(a = r\), le plan passe par le centre et vous obtenez exactement la moitié du cône ; lorsque \(a\) est petit, la tranche n'est qu'une fine languette.
La formule expliquée
On calcule d'abord le paramètre sans dimension \(k = 1 - a/r\), qui est le cosinus du demi-angle sous-tendu par la corde. L'angle au centre vaut \(\theta = 2\cdot\arccos(k)\) radians. La base est un segment circulaire d'aire \(S_B = \frac{r^2}{2}(\theta - \sin\theta)\). Comme un cône est un empilement homothétique de sa base, le volume au-dessus de toute région plane de base vaut un tiers de cette aire multipliée par la hauteur, soit $$V = \frac{1}{3}\cdot S_B \cdot h.$$ La surface latérale au-dessus de l'arc représente la fraction \(\theta/(2\pi)\) de la surface latérale totale du cône \(\pi r\sqrt{r^2+h^2}\), ce qui donne \(S_L = \frac{\theta}{2}\cdot r\sqrt{r^2+h^2}\). La coupe verticale elle-même est un triangle dont la base est égale à la corde \(c\) et la hauteur égale à la hauteur \(h\) du cône, d'où \(S_h = \tfrac{1}{2}ch\).
Exemple résolu
Pour \(r = 5\), \(h = 7\), \(a = 3\) : \(k = 0{,}4\), \(\theta = 2\cdot\arccos(0{,}4) = 2{,}3186\) rad, corde \(c = 9{,}1652\), arc \(L = 11{,}5928\). Le segment de base donne \(S_B = 12{,}5\cdot(2{,}3186 - 0{,}7332) = 19{,}8168\), d'où $$V = \frac{1}{3}\cdot 19{,}8168\cdot 7 \approx 46{,}2393.$$ L'apothème (hauteur oblique) vaut \(\sqrt{74} = 8{,}6023\), ce qui donne \(S_L \approx 49{,}8657\) et l'aire de la coupe \(S_h = \tfrac{1}{2}\cdot 9{,}1652\cdot 7 \approx 32{,}0780\).
FAQ
S'agit-il d'une coupe oblique ? Non. Le plan est vertical (parallèle à l'axe), donc la coupe est un triangle plan et la base est un segment circulaire, et non une ellipse.
Que se passe-t-il si \(a\) est égal à \(r\) ? Alors \(k = 0\), \(\theta = \pi\), et vous obtenez exactement la moitié du volume total du cône, soit \(\pi r^2 h/6\).
Quelles unités pour les résultats ? Les longueurs partagent l'unité que vous saisissez ; les aires sont exprimées en unité² et le volume en unité³. Les angles sont donnés en radians.
