Công cụ này làm gì
Công cụ này tính toán hình học của một hình nón tròn xoay bị cắt bởi một mặt phẳng nghiêng. Mặt phẳng cắt xoay quanh một điểm nằm trên trục đối xứng của hình nón, nên nó cắt nón theo phương xiên: một bên nhô lên trong khi bên đối diện hạ xuống. Phần khối mà chúng ta giữ lại là phần phía dưới, được giới hạn bên dưới bởi mặt đáy hình tròn và bên trên bởi mặt cắt hình elip nghiêng. Công cụ trả về ba đại lượng: thể tích phần giữ lại \(V\), diện tích mặt cắt nghiêng \(S_u\), và diện tích đáy \(S_B\). Tất cả đều là hình học khối thuần túy, nên kết quả áp dụng giống hệt nhau ở mọi nơi và chỉ cần một đơn vị độ dài nhất quán.
Cách sử dụng
Nhập chiều cao nón \(H\), bán kính đáy \(R\), bán kính \(r\) của mặt cắt ngang tại độ cao nơi mặt phẳng cắt giao với trục, và góc cắt \(\theta\) tính bằng độ. Hãy dùng cùng một đơn vị cho cả ba độ dài; thể tích sẽ tính theo đơn vị đó lập phương và diện tích theo đơn vị đó bình phương. Góc cắt phải thỏa mãn \(0 \le \theta < 90\) độ, \(R\) phải là số dương, và \(r\) nằm trong khoảng từ 0 đến \(R\).
Giải thích công thức
Diện tích đáy đơn giản là \(S_B = \pi R^2\). Mặt cắt nghiêng là một hình elip có hình chiếu nằm ngang chính là đường tròn bán kính \(r\); khi nghiêng đi một góc \(\theta\), diện tích bị giãn ra theo hệ số \(1/\cos\theta\), nên \(S_u = \pi r^2 / \cos\theta\). Thể tích được xây dựng từ một hình nón cụt (từ bán kính đáy \(R\) lên đến bán kính tại điểm xoay \(r\) với độ cao \(h_p = H(R-r)/R\)) cộng thêm một số hạng nêm xiên \(\frac{2}{3}r^3\tan\theta\) để bù cho phần nghiêng:
$$V = \frac{\pi h_p}{3}\left(R^2 + R\,r + r^2\right) + \frac{2}{3}\,r^3 \tan\theta$$
Ví dụ minh họa
Với \(H=5\), \(R=8\), \(r=3\), \(\theta=15^\circ\): \(\cos 15^\circ = 0{,}9659258\), \(\tan 15^\circ = 0{,}2679492\). Diện tích đáy \(= \pi \cdot 64 = 201{,}062\). Diện tích mặt cắt \(= \pi \cdot 9 / 0{,}9659258 = 29{,}2738\). \(h_p = 5 \cdot (8-3)/8 = 3{,}125\), hình nón cụt \(= (\pi \cdot 3{,}125/3) \cdot (64+24+9) = 317{,}432\), phần nêm \(= 0{,}6667 \cdot 27 \cdot 0{,}2679492 = 4{,}823\). Thể tích \(V \approx 322{,}255\).
Câu hỏi thường gặp
Điều gì xảy ra khi \(\theta = 0\)? Mặt cắt trở thành nằm ngang: \(S_u = \pi r^2\) và số hạng nêm biến mất, chỉ còn lại thể tích của hình nón cụt.
Vì sao \(\theta\) phải nhỏ hơn 90 độ? Khi \(\theta\) tiến gần đến \(90^\circ\), \(\cos\theta\) tiến về 0 và diện tích mặt cắt nghiêng tăng vô hạn, nên cấu hình đó không hợp lệ.
Kết quả tính theo đơn vị nào? Theo đúng đơn vị bạn dùng cho các độ dài. Nếu \(H\), \(R\) và \(r\) tính bằng centimét thì thể tích tính bằng centimét khối và diện tích tính bằng centimét vuông.
