이 계산기의 기능
이 도구는 기울어진 평면으로 잘린 직원뿔의 기하학적 값을 계산합니다. 절단 평면은 원뿔 중심축 위의 한 점을 기준으로 회전하므로, 원뿔을 비스듬히 잘라 한쪽은 위로 올라가고 반대쪽은 아래로 내려갑니다. 우리가 남기는 입체는 아래쪽 부분으로, 밑은 원형 밑면, 위는 경사진 타원형 절단면으로 둘러싸여 있습니다. 계산 결과로는 세 가지 값을 돌려줍니다. 남은 부피 \(V\), 경사 절단면 넓이 \(S_u\), 그리고 밑면 넓이 \(S_B\)입니다. 모두 순수한 입체기하 계산이므로 어디서든 동일하게 적용되며, 하나의 일관된 길이 단위만 쓰면 됩니다.
사용 방법
원뿔 높이 \(H\), 밑면 반지름 \(R\), 절단 평면이 축과 만나는 높이에서의 수평 단면 반지름 \(r\), 그리고 절단 각도 \(\theta\)(도 단위)를 입력하세요. 세 길이 값은 모두 같은 단위를 사용해야 합니다. 부피는 그 단위의 세제곱, 넓이는 그 단위의 제곱으로 나옵니다. 절단 각도는 \(0 \le \theta < 90\)도 범위여야 하고, \(R\)은 양수여야 하며, \(r\)은 0과 \(R\) 사이에 있어야 합니다.
공식 설명
밑면 넓이는 간단히 \(S_B = \pi R^2\)입니다. 경사 절단면은 타원인데, 이 타원을 수평으로 투영하면 반지름 \(r\)인 원이 됩니다. \(\theta\)만큼 기울이면 넓이가 \(1/\cos\theta\)배로 늘어나므로 \(S_u = \pi r^2 / \cos\theta\)가 됩니다. 부피는 절두원뿔 부분(밑면 반지름 \(R\)에서 회전 기준점 반지름 \(r\)까지, 수직 높이 \(h_p = H(R-r)/R\))에 경사를 반영하는 빗쐐기 항 \((2/3)r^3\tan\theta\)를 더해 구성됩니다.
$$V = \frac{\pi h_p}{3}\left(R^2 + R\,r + r^2\right) + \frac{2}{3}\,r^3 \tan\theta$$
계산 예시
\(H=5\), \(R=8\), \(r=3\), \(\theta=15^\circ\)일 때: \(\cos 15^\circ=0.9659258\), \(\tan 15^\circ=0.2679492\). 밑면 넓이 \(= \pi\cdot 64 = 201.062\). 절단면 넓이 \(= \pi\cdot 9 / 0.9659258 = 29.2738\). \(h_p = 5\cdot(8-3)/8 = 3.125\), 절두원뿔 \(= (\pi\cdot 3.125/3)\cdot(64+24+9) = 317.432\), 빗쐐기 \(= 0.6667\cdot 27\cdot 0.2679492 = 4.823\). 부피 \(V \approx 322.255\).
자주 묻는 질문
\(\theta = 0\)일 때는 어떻게 되나요? 절단면이 수평이 됩니다. \(S_u = \pi r^2\)가 되고 빗쐐기 항이 사라져, 절두원뿔 부피만 남습니다.
\(\theta\)는 왜 90도 미만이어야 하나요? \(\theta\)가 \(90^\circ\)에 가까워지면 \(\cos\theta\)가 0에 가까워져 경사 절단면 넓이가 무한대로 발산합니다. 따라서 그런 설정은 유효하지 않습니다.
답은 어떤 단위로 나오나요? 길이에 사용한 단위에 따라 달라집니다. \(H\), \(R\), \(r\)을 센티미터로 입력하면 부피는 세제곱센티미터, 넓이는 제곱센티미터로 나옵니다.
