ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحسب هذه الأداة هندسة مخروط دائري قائم بعد قطعه بمستوٍ مائل. يدور هذا المستوى حول نقطة على المحور المركزي للمخروط، فيقطعه بشكل مائل: يرتفع أحد جانبيه بينما ينخفض الجانب المقابل. الجسم الذي نحتفظ به هو الجزء السفلي، المحدود من الأسفل بالقاعدة الدائرية ومن الأعلى بوجه قطع بيضاوي مائل. تُرجع الأداة ثلاث قيم: الحجم المتبقي \(V\)، ومساحة المقطع المائل \(S_u\)، ومساحة القاعدة \(S_B\). وكل ذلك هندسة فراغية صرفة، لذا فهي تنطبق بالطريقة نفسها في أي مكان وتعمل بأي وحدة طول واحدة متّسقة.
كيفية الاستخدام
أدخل ارتفاع المخروط \(H\)، ونصف قطر القاعدة \(R\)، ونصف القطر \(r\) للمقطع الأفقي عند المستوى الذي يعبر فيه مستوى القطع المحور، وزاوية القطع \(\theta\) بالدرجات. استخدم وحدة واحدة متّسقة لجميع الأطوال الثلاثة؛ عندئذٍ يكون الحجم بهذه الوحدة مرفوعة للقوة الثالثة وتكون المساحات بهذه الوحدة مربّعة. يجب أن تحقق زاوية القطع الشرط \(0 \le \theta < 90\) درجة، وأن يكون \(R\) موجبًا، وأن تقع \(r\) بين 0 و\(R\).
شرح المعادلة
مساحة القاعدة ببساطة هي \(S_B = \pi R^2\). أما القطع المائل فهو شكل بيضاوي إسقاطه الأفقي دائرة نصف قطرها \(r\)؛ والميل بزاوية \(\theta\) يوسّع المساحة بمعامل \(1/\cos\theta\)، أي \(S_u = \pi r^2 / \cos\theta\). ويُبنى الحجم على شكل مخروط ناقص (من نصف قطر القاعدة \(R\) صعودًا حتى نصف قطر نقطة الدوران \(r\) عبر ارتفاع رأسي \(h_p = H(R-r)/R\)) مضافًا إليه حدّ الإسفين المائل \(\frac{2}{3} r^3 \tan\theta\) الذي يأخذ الميل في الحسبان:
$$V = \frac{\pi h_p}{3}\left(R^2 + R\,r + r^2\right) + \frac{2}{3}\,r^3 \tan\theta$$
مثال محلول
لنأخذ \(H=5\)، \(R=8\)، \(r=3\)، \(\theta=15°\): حيث \(\cos 15° = 0.9659258\)، و\(\tan 15° = 0.2679492\). مساحة القاعدة \(= \pi \cdot 64 = 201.062\). مساحة القطع \(= \pi \cdot 9 / 0.9659258 = 29.2738\). \(h_p = 5 \cdot (8-3)/8 = 3.125\)، المخروط الناقص \(= (\pi \cdot 3.125/3) \cdot (64+24+9) = 317.432\)، الإسفين \(= 0.6667 \cdot 27 \cdot 0.2679492 = 4.823\). الحجم \(V \approx 322.255\).
الأسئلة الشائعة
ماذا يحدث عند \(\theta = 0\)؟ يصبح القطع أفقيًا: \(S_u = \pi r^2\) ويختفي حدّ الإسفين، فلا يبقى سوى حجم المخروط الناقص.
لماذا يجب أن تبقى \(\theta\) أقل من 90 درجة؟ عندما تقترب \(\theta\) من \(90°\)، يقترب \(\cos\theta\) من الصفر فتتباعد مساحة القطع المائل نحو ما لا نهاية، ومن ثمّ يصبح هذا الوضع غير صالح.
بأي وحدة تكون النتيجة؟ بالوحدة نفسها التي تستخدمها للأطوال. فإذا كانت \(H\) و\(R\) و\(r\) بالسنتيمترات، يكون الحجم بالسنتيمترات المكعبة وتكون المساحات بالسنتيمترات المربعة.
