Qué calcula esta herramienta
Esta calculadora determina la geometría de un cono circular recto seccionado por un plano inclinado. El plano gira en torno a un punto del eje central del cono, de modo que lo corta de forma oblicua: un lado sube mientras el opuesto baja. El sólido que conservamos es la parte inferior, limitada por debajo por la base circular y por arriba por una cara de corte elíptica e inclinada. Devuelve tres magnitudes: el volumen retenido \(V\), el área del corte inclinado \(S_u\) y el área de la base \(S_B\). Todo es geometría de sólidos pura, así que el resultado es válido en cualquier lugar y funciona con cualquier unidad de longitud, siempre que la uses de forma coherente.
Cómo utilizarla
Introduce la altura del cono \(H\), el radio de la base \(R\), el radio \(r\) de la sección horizontal a la altura donde el plano de corte cruza el eje y el ángulo de corte \(\theta\) en grados. Usa la misma unidad para las tres longitudes; el volumen se obtiene en esa unidad al cubo y las áreas en esa unidad al cuadrado. El ángulo de corte debe cumplir \(0 \le \theta < 90\) grados, \(R\) debe ser positivo y \(r\) ha de situarse entre \(0\) y \(R\).
La fórmula explicada
El área de la base es simplemente \(S_B = \pi R^2\). El corte inclinado es una elipse cuya proyección horizontal es el círculo de radio \(r\); al inclinarlo un ángulo \(\theta\) su área se estira en un factor \(1/\cos\theta\), de modo que \(S_u = \pi r^2 / \cos\theta\). El volumen se construye como un tronco de cono (desde el radio de la base \(R\) hasta el radio de pivote \(r\), a lo largo de una elevación vertical \(h_p = H(R-r)/R\)) más un término de cuña oblicua \(\frac{2}{3}r^3\tan\theta\) que tiene en cuenta la inclinación:
$$V = \frac{\pi h_p}{3}\left(R^2 + R\,r + r^2\right) + \frac{2}{3}\,r^3 \tan\theta$$
Ejemplo resuelto
Con \(H=5\), \(R=8\), \(r=3\), \(\theta=15^\circ\): \(\cos 15^\circ=0{,}9659258\), \(\tan 15^\circ=0{,}2679492\). Área de la base \(= \pi\cdot 64 = 201{,}062\). Área del corte \(= \pi\cdot 9 / 0{,}9659258 = 29{,}2738\). \(h_p = 5\cdot(8-3)/8 = 3{,}125\), tronco de cono \(= (\pi\cdot 3{,}125/3)\cdot(64+24+9) = 317{,}432\), cuña \(= 0{,}6667\cdot 27\cdot 0{,}2679492 = 4{,}823\). Volumen \(V \approx 322{,}255\).
Preguntas frecuentes
¿Qué ocurre cuando \(\theta = 0\)? El corte se vuelve horizontal: \(S_u = \pi r^2\) y el término de la cuña desaparece, quedando únicamente el volumen del tronco de cono.
¿Por qué \(\theta\) debe ser menor que 90 grados? A medida que \(\theta\) se acerca a \(90^\circ\), \(\cos\theta\) tiende a \(0\) y el área del corte inclinado se dispara hacia el infinito, por lo que esa configuración no es válida.
¿En qué unidad se expresa el resultado? En la que uses para las longitudes. Si \(H\), \(R\) y \(r\) están en centímetros, el volumen se expresa en centímetros cúbicos y las áreas en centímetros cuadrados.
