这个计算器能做什么
本工具用于计算被一个倾斜平面切割后的正圆锥的几何量。该平面绕圆锥中轴线上的某一点转动，因此切口是斜的：一侧抬高，另一侧下降。我们保留的实体是下半部分——底部由圆形底面围成，顶部则是一个倾斜的椭圆切面。计算结果包含三个量：保留体积 \(V\)、斜切面面积 \(S_u\)，以及底面面积 \(S_B\)。整个计算属于纯立体几何，因此在任何地方结果都一致，只需采用同一个长度单位即可。
如何使用
请输入圆锥高度 \(H\)、底面半径 \(R\)、切割平面与轴线相交处水平截面的半径 \(r\)，以及切割角度 \(\theta\)（单位为度）。三个长度务必使用同一单位；这样体积的单位就是该长度单位的立方，面积则是其平方。切割角度需满足 \(0 \le \theta < 90\) 度，\(R\) 必须为正数，\(r\) 应介于 \(0\) 与 \(R\) 之间。
公式解析
底面面积很简单：\(S_B = \pi R^2\)。斜切面是一个椭圆，它在水平面上的投影正是半径为 \(r\) 的圆；当倾斜 \(\theta\) 角时，面积被拉伸 \(1/\cos\theta\) 倍，因此 \(S_u = \pi r^2 / \cos\theta\)。体积由两部分构成：一个圆台（底面半径 \(R\) 上升至轴线相交处的半径 \(r\)，垂直升高 \(h_p = H(R-r)/R\)），再加上一个用于体现斜切的斜楔项 \(\frac{2}{3}r^3\tan\theta\)：
$$V = \frac{\pi h_p}{3}\left(R^2 + R\,r + r^2\right) + \frac{2}{3}\,r^3 \tan\theta$$
计算实例
设 \(H=5\)、\(R=8\)、\(r=3\)、\(\theta=15°\)：\(\cos 15° = 0.9659258\)，\(\tan 15° = 0.2679492\)。底面面积 \(= \pi \cdot 64 = 201.062\)。切面面积 \(= \pi \cdot 9 / 0.9659258 = 29.2738\)。\(h_p = 5 \cdot (8-3)/8 = 3.125\)，圆台部分 \(= (\pi \cdot 3.125/3) \cdot (64+24+9) = 317.432\)，斜楔项 \(= 0.6667 \cdot 27 \cdot 0.2679492 = 4.823\)。体积 \(V \approx 322.255\)。
常见问题
当 \(\theta = 0\) 时会怎样？此时切口变为水平：\(S_u = \pi r^2\)，斜楔项消失，剩下的就是纯粹的圆台体积。
为什么 \(\theta\) 必须小于 90 度？当 \(\theta\) 趋近 \(90°\) 时，\(\cos\theta\) 趋近于 \(0\)，斜切面面积会发散趋向无穷大，因此这种情形是无效的。
计算结果用什么单位？取决于你输入长度时所用的单位。若 \(H\)、\(R\)、\(r\) 以厘米为单位，则体积单位为立方厘米，面积单位为平方厘米。
