这个计算器能做什么
旋转椭球体（spheroid）是椭圆绕自身某一条轴旋转一周所形成的立体。本工具用来计算球缺（旋转椭球体的一段）的几何量：当你用一个垂直于旋转轴的平面切开旋转椭球体时，所截下的那一部分。它会给出这段球缺的体积、切口处圆形底面积，以及弧形侧壁的曲面（侧）面积。
使用方法
请输入赤道方向的半轴 a（即垂直于旋转轴两个方向上的半径）、沿旋转轴方向的半轴 c，以及从底端顶点起算的球缺高度 h。三个数值务必使用同一个长度单位；体积的结果为单位³，面积的结果为单位²。高度需满足 \(0 < h \le 2c\)，当 \(h = 2c\) 时即返回完整旋转椭球体的结果。
公式详解
设旋转椭球体方程为 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1\)，则在轴向高度 \(z\) 处的圆盘半径为 \(r(z) = a\sqrt{1 - z^2/c^2}\)。将 \(\pi r^2\) 从底端（\(z = -c\)）积分到切口处（\(z = h - c\)），得到体积 $$V = \frac{\pi\,a^{2}\,h^{2}\left(3c - h\right)}{3c^{2}}$$ 底面积等于 \(\pi\) 乘以切口半径的平方，即 $$A = \frac{\pi\,a^{2}\,h\left(2c - h\right)}{c^{2}}$$ 弧形侧壁是一个旋转曲面，$$S = 2\pi\int r\sqrt{1 + \left(\frac{dr}{dz}\right)^{2}}\;dz$$ 本工具采用高精度数值积分求解，因此无论是长椭球、扁椭球还是正球都适用。
计算实例
取 \(a = 2\)，\(c = 4\)，\(h = 3\)（因 \(c > a\)，属于长椭球）。体积 $$= \frac{\pi\cdot 4\cdot 9\cdot(12 - 3)}{3\cdot 16} = \frac{\pi\cdot 324}{48} \approx 21.206 \text{ 单位}^3$$ 底面积 $$= \frac{\pi\cdot 4\cdot 3\cdot(8 - 3)}{16} = \pi\cdot 3.75 \approx 11.781 \text{ 单位}^2$$ 曲面面积经积分约为 \(25.30\) 单位²。
常见问题
曲面面积包含底面积吗？不包含——这里给出的曲面面积仅指弧形的旋转椭球侧壁。如果你需要封闭球缺的总表面积，请把底面积一并加上。
如果 a 等于 c 会怎样？此时旋转椭球体退化为半径 \(R = a = c\) 的正球，结果与标准球冠公式完全一致：\(V = \frac{\pi h^{2}(3R - h)}{3}\)，\(S = 2\pi R h\)。
长椭球与扁椭球有何区别？长椭球（prolate）指 \(c > a\)，沿轴向被拉长，形似鸡蛋；扁椭球（oblate）指 \(c < a\)，呈扁平状。本工具的数值曲面积分对两种情形都适用，公式无需改动。
