這個計算器的功能
所謂「球體（spheroid）」其實是一種旋轉橢球體，也就是讓一個橢圓繞著它的其中一條軸旋轉所形成的立體。本工具專門計算球缺的幾何量：當你用一個垂直於旋轉軸的平面切過這個橢球體時，所留下的那一塊。計算結果包含球缺的體積、切面所形成的圓形底面積，以及側壁的曲面（側）面積。
使用方法
請輸入赤道半軸 \(a\)（也就是垂直於旋轉軸兩個方向上的半徑）、沿旋轉軸方向的半軸 \(c\)，以及由底端尖點起算的球缺高度 \(h\)。三個數值務必使用相同的長度單位；體積會以「單位³」呈現，面積則以「單位²」呈現。高度需滿足 \(0 < h \le 2c\)，當 \(h = 2c\) 時即代表完整的橢球體。
公式說明
對於橢球體 \(\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1\)，在軸向高度 \(z\) 處的圓盤半徑為 \(r(z) = a\sqrt{1 - z^{2}/c^{2}}\)。將 \(\pi r^{2}\) 從底端（\(z = -c\)）積分到切面位置（\(z = h - c\)），即可得到體積 $$V = \frac{\pi\,a^{2}\,h^{2}}{3\,c^{2}}\left(3\,c - h\right)$$ 底面積為 \(\pi\) 乘上切面半徑的平方，即 $$A = \frac{\pi\,a^{2}\,h\left(2\,c - h\right)}{c^{2}}$$ 曲面側壁為旋轉曲面，其面積 $$S = 2\pi \int r\sqrt{1 + \left(\frac{dr}{dz}\right)^{2}}\;dz$$ 本工具採用細密的數值積分求解，因此無論是長球體（prolate）、扁球體（oblate）還是正球體都適用。
實際範例
假設 \(a = 2\)、\(c = 4\)、\(h = 3\)（因為 \(c > a\)，所以是長球體）。體積 $$V = \frac{\pi \cdot 4 \cdot 9 \cdot (12 - 3)}{3 \cdot 16} = \frac{\pi \cdot 324}{48} \approx 21.206 \text{ 單位}^{3}$$ 底面積 $$A = \frac{\pi \cdot 4 \cdot 3 \cdot (8 - 3)}{16} = \pi \cdot 3.75 \approx 11.781 \text{ 單位}^{2}$$ 曲面側面積經積分約為 \(25.30\) 單位²。
常見問題
表面積有沒有包含底面積？沒有。這裡所報告的表面積僅指球缺的曲面側壁。如果你需要的是封閉球缺的「總」表面積，請再把底面積加上去。
如果 a 等於 c 會怎樣？此時橢球體會退化成半徑 \(R = a = c\) 的正球體，計算結果會與標準的球冠公式一致，即 \(V = \frac{\pi h^{2}(3R - h)}{3}\) 與 \(S = 2\pi R h\)。
長球體與扁球體有何不同？長球體（prolate）是指 \(c > a\)，沿軸方向拉長，形似雞蛋；扁球體（oblate）則是 \(c < a\)，呈扁平狀。數值表面積分對兩者都適用，公式完全不需更動。
