這個計算器的用途
本工具用來計算截斷（部分）三軸橢球的體積與表面積。先設想一個以原點為中心、半軸長分別為 a、b、c 的完整橢球，其方程式為 \((x/a)^2 + (y/b)^2 + (z/c)^2 = 1\)。其中 c 軸為垂直方向，從 \(z = -c\)（底部）延伸到 \(z = +c\)（頂部）。我們用一個水平面把這個立體切開，並保留從 \(z = -c\) 往上量起、高度為 h 的底部冠狀部分。這是純粹而通用的幾何運算，適用於任何情境——四個輸入值都只是純數字，並共用同一個長度單位。
使用方式
輸入三個半軸長 a、b、c，以及切割高度 h。高度必須滿足 \(0 \le h \le 2c\)；當 \(h = 2c\) 時即為完整橢球，當 \(h = c\) 時則恰好是橢球的一半。計算結果會以你輸入時所使用的長度單位呈現：體積為立方單位，表面積為平方單位。本計算器沒有單位下拉選單，因此不會進行任何單位換算。
公式說明
令 \(u = h/c\) 為無因次的填充比例。將橢圓截面面積 \(\pi a b\left(1 - (t/c)^2\right)\) 由底部往上積分，可得到精確的封閉解 $$V = \pi\,\text{a}\,\text{b}\,\text{c}\left[(u-1) - \frac{(u-1)^{3}}{3} + \frac{2}{3}\right]$$ 表面積則分為兩部分：一是面積為 $$A_{\text{flat}} = \pi\,\text{a}\,\text{b}\left(2u - u^{2}\right), \quad u = \frac{\text{h}}{\text{c}}$$ 的平坦橢圓切面，二是彎曲的側向冠面。由於三軸橢球的表面積沒有基本封閉解，這個彎曲部分是以數值法（辛普森法）對橢球面元素做二重積分計算而得，積分範圍為 \(\theta\) 在 \([0, 2\pi]\)、\(\phi\) 在 \([0, \arccos(u-1)]\)。 $$A_{\text{curved}} = \int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{\phi_{\max}} \sin\phi\,\sqrt{c^{2}\sin^{2}\!\phi\,(b^{2}\cos^{2}\!\theta + a^{2}\sin^{2}\!\theta) + a^{2}b^{2}\cos^{2}\!\phi}\;\, d\phi\, d\theta$$ $$S = A_{\text{flat}} + A_{\text{curved}}$$
實例演算
取 \(a = 2\)、\(b = 3\)、\(c = 4\)、\(h = 3\)，則 \(u = 0.75\)。體積項 \(= (-0.25) - (-0.25)^3/3 + 2/3 = 0.421875\)，因此 \(V = \pi \cdot 24 \cdot 0.421875 \approx\) 31.81。平坦切面的 \(k^2 = 2u - u^2 = 0.9375\)，面積 \(= \pi \cdot 6 \cdot 0.9375 \approx 17.67\)。彎曲冠面積分後約為 81.2，所以總表面積 \(S \approx\) 98.9。
常見問題
體積是精確的嗎？是的——體積是封閉解的結果，沒有任何近似。
表面積是精確的嗎？平坦切面是精確值；彎曲冠面則以高解析度數值積分（\(64 \times 64\) 個分割面）計算，能精確到數位有效數字。
如果 \(h > 2c\) 會怎樣？高度會被限制在 \(2c\)，對應完整的橢球（此時平坦切面面積變為零）。
