ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحسب هذه الأداة الحجم ومساحة السطح لقطع ناقص ثلاثي المحاور مبتور (جزئي). ابدأ من قطع ناقص كامل متمركز عند نقطة الأصل بأنصاف محاور a وb وc، ويُعرَّف بالمعادلة \((x/a)^{2} + (y/b)^{2} + (z/c)^{2} = 1\). المحور c هو المحور الرأسي، ويمتد من z = -c (الأسفل) إلى z = +c (الأعلى). نقطع المجسم بمستوٍ أفقي ونحتفظ بالقبّة السفلية بارتفاع h مقاساً صعوداً من z = -c. هذه هندسة بحتة وعامة تنطبق في أي مكان — فكل المدخلات الأربعة هي أعداد عادية بوحدة طول واحدة مشتركة.
طريقة الاستخدام
أدخل أنصاف المحاور الثلاثة a وb وc ثم ارتفاع القطع h. يجب أن يحقق الارتفاع الشرط \(0 \le h \le 2c\)؛ فعند h = 2c تحصل على القطع الناقص الكامل، وعند h = c تحصل على نصفه تماماً. تُعطى النتائج بالوحدة نفسها التي استخدمتها: الحجم بالوحدات المكعّبة ومساحة السطح بالوحدات المربّعة. لا توجد قوائم لاختيار الوحدات، وبالتالي لا يُطبَّق أي تحويل في المقياس.
شرح المعادلة
لنفرض أن \(u = h/c\) هي نسبة الامتلاء عديمة الأبعاد. بمكاملة مساحة المقطع البيضاوي \(\pi ab(1 - (t/c)^{2})\) من الأسفل صعوداً نحصل على الصيغة المغلقة الدقيقة $$V = \pi\,\text{a}\,\text{b}\,\text{c}\left[(u-1) - \frac{(u-1)^{3}}{3} + \frac{2}{3}\right]$$ أما مساحة السطح فتنقسم إلى جزأين: وجه قطع بيضاوي مستوٍ مساحته \(\pi ab(2u - u^{2})\)، وقبّة جانبية منحنية. وبما أن سطح القطع الناقص ثلاثي المحاور ليس له صيغة مغلقة بسيطة، فإن الجزء المنحني يُحسب عددياً عبر تكامل مزدوج بطريقة سيمبسون لعنصر سطح القطع الناقص على \(\theta\) في المجال \([0, 2\pi]\) وعلى \(\phi\) في المجال \([0, \arccos(u-1)]\).
مثال محلول
لنأخذ a = 2 وb = 3 وc = 4 وh = 3، أي \(u = 0.75\). حد الحجم \(= (-0.25) - (-0.25)^{3}/3 + 2/3 = 0.421875\)، ومنه \(V = \pi\cdot 24\cdot 0.421875 \approx\) 31.81. الوجه المستوي له \(k^{2} = 2u - u^{2} = 0.9375\)، ومساحته \(= \pi\cdot 6\cdot 0.9375 \approx 17.67\). وتعطي مكاملة القبّة المنحنية نحو 81.2، فتكون مساحة السطح الكلية \(S \approx\) 98.9.
الأسئلة الشائعة
هل الحجم دقيق؟ نعم — فالحجم نتيجة بصيغة مغلقة دون أي تقريب.
هل مساحة السطح دقيقة؟ وجه القطع المستوي دقيق؛ أما القبّة المنحنية فتُحسب بمكاملة عددية عالية الدقة (\(64\times 64\) لوحاً)، وهي دقيقة إلى عدة أرقام معنوية.
ماذا لو كان h > 2c؟ يُقصَر الارتفاع عند القيمة 2c، وهي تقابل القطع الناقص الكامل (وتصبح مساحة الوجه المستوي صفراً).
