À quoi sert ce calculateur
Cet outil calcule le volume et la surface d'un ellipsoïde triaxial tronqué (partiel). On part d'un ellipsoïde complet centré à l'origine, de demi-axes a, b et c, défini par \((x/a)^2 + (y/b)^2 + (z/c)^2 = 1\). L'axe c est vertical et va de \(z = -c\) (base) à \(z = +c\) (sommet). On découpe le solide par un plan horizontal et l'on conserve la calotte inférieure de hauteur h, mesurée vers le haut à partir de \(z = -c\). Il s'agit de géométrie pure et universelle, valable partout : les quatre données sont de simples nombres exprimés dans une même unité de longueur.
Comment l'utiliser
Saisissez les trois demi-axes a, b, c ainsi que la hauteur de coupe h. La hauteur doit respecter \(0 \le h \le 2c\) : à \(h = 2c\), vous obtenez l'ellipsoïde entier, et à \(h = c\), exactement sa moitié. Les résultats sont exprimés dans la même unité de longueur que celle utilisée en entrée : le volume en unités cubes et la surface en unités carrées. Aucun menu d'unités n'est proposé, donc aucune conversion n'est appliquée.
La formule expliquée
Posons \(u = h/c\), la fraction de remplissage sans dimension. En intégrant l'aire de la section elliptique \(\pi a b\left(1 - (t/c)^2\right)\) depuis la base vers le haut, on obtient la forme close exacte
$$V = \pi\,a\,b\,c\left[(u-1) - \frac{(u-1)^{3}}{3} + \frac{2}{3}\right]$$La surface se décompose en deux parties : une face de coupe elliptique plane d'aire \(\pi a b\left(2u - u^2\right)\) et une calotte latérale courbe. Comme la surface d'un ellipsoïde triaxial n'admet pas de forme close élémentaire, la partie courbe est obtenue par une double intégrale numérique (méthode de Simpson) de l'élément de surface de l'ellipsoïde sur \(\theta\) dans \([0, 2\pi]\) et \(\phi\) dans \([0, \arccos(u-1)]\).
$$A_{\text{curved}} = \int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{\phi_{\max}} \sin\phi\,\sqrt{c^{2}\sin^{2}\!\phi\,(b^{2}\cos^{2}\!\theta + a^{2}\sin^{2}\!\theta) + a^{2}b^{2}\cos^{2}\!\phi}\;\, d\phi\, d\theta$$$$S = A_{\text{flat}} + A_{\text{curved}}$$
Exemple détaillé
Prenons \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = 4\), \(h = 3\), soit \(u = 0{,}75\). Le terme de volume vaut \((-0{,}25) - (-0{,}25)^3/3 + 2/3 = 0{,}421875\), ce qui donne \(V = \pi \cdot 24 \cdot 0{,}421875 \approx\) 31,81. La face plane a \(k^2 = 2u - u^2 = 0{,}9375\), soit une aire de \(\pi \cdot 6 \cdot 0{,}9375 \approx 17{,}67\). La calotte courbe s'intègre à environ 81,2, d'où une surface totale \(S \approx\) 98,9.
FAQ
Le volume est-il exact ? Oui : le volume est un résultat sous forme close, sans aucune approximation.
La surface est-elle exacte ? La face de coupe plane est exacte ; la calotte courbe est calculée par intégration numérique haute résolution (\(64 \times 64\) panneaux), précise à plusieurs chiffres significatifs.
Et si \(h > 2c\) ? La hauteur est ramenée à \(2c\), ce qui correspond à l'ellipsoïde entier (l'aire de la face plane devient alors nulle).
