Qué hace esta calculadora
Esta herramienta calcula el volumen y la superficie de un elipsoide triaxial truncado (parcial). Partimos de un elipsoide completo centrado en el origen, con semiejes a, b y c, definido por \((x/a)^2 + (y/b)^2 + (z/c)^2 = 1\). El eje c es el vertical y va desde \(z = -c\) (base) hasta \(z = +c\) (cúspide). Cortamos el sólido con un plano horizontal y conservamos el casquete inferior de altura h, medida hacia arriba desde \(z = -c\). Se trata de geometría pura y universal, válida en cualquier contexto: los cuatro datos de entrada son simples números expresados en una misma unidad de longitud.
Cómo usarla
Introduce los tres semiejes a, b y c junto con la altura de corte h. La altura debe cumplir \(0 \le h \le 2c\); cuando \(h = 2c\) obtienes el elipsoide completo, y cuando \(h = c\) obtienes exactamente la mitad. Los resultados se devuelven en la misma unidad de longitud que hayas utilizado: el volumen en unidades cúbicas y la superficie en unidades cuadradas. No hay listas desplegables de unidades, así que no se aplica ninguna conversión de escala.
La fórmula explicada
Sea \(u = h/c\) la fracción de llenado adimensional. Al integrar el área de la sección transversal elíptica \(\pi a b (1 - (t/c)^2)\) desde la base hacia arriba se obtiene la forma cerrada exacta
$$V = \pi\,a\,b\,c\left[(u-1) - \frac{(u-1)^{3}}{3} + \frac{2}{3}\right]$$La superficie se divide en dos partes: una cara de corte elíptica plana de área \(\pi a b (2u - u^2)\) y un casquete lateral curvo. Como la superficie de un elipsoide triaxial no tiene una forma cerrada elemental, la parte curva se calcula mediante una doble integral numérica (de Simpson) del elemento de superficie del elipsoide sobre \(\theta\) en \([0, 2\pi]\) y \(\phi\) en \([0, \arccos(u-1)]\).
$$A_{\text{curved}} = \int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{\phi_{\max}} \sin\phi\,\sqrt{c^{2}\sin^{2}\!\phi\,(b^{2}\cos^{2}\!\theta + a^{2}\sin^{2}\!\theta) + a^{2}b^{2}\cos^{2}\!\phi}\;\, d\phi\, d\theta$$
Ejemplo resuelto
Tomemos \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = 4\), \(h = 3\), de modo que \(u = 0{,}75\). El término de volumen $$= (-0{,}25) - \frac{(-0{,}25)^{3}}{3} + \frac{2}{3} = 0{,}421875,$$ lo que da \(V = \pi \cdot 24 \cdot 0{,}421875 \approx\) 31,81. La cara plana tiene \(k^2 = 2u - u^2 = 0{,}9375\), con área \(= \pi \cdot 6 \cdot 0{,}9375 \approx 17{,}67\). El casquete curvo se integra hasta unos 81,2, de modo que la superficie total \(S \approx\) 98,9.
Preguntas frecuentes
¿El volumen es exacto? Sí: el volumen es un resultado en forma cerrada, sin ninguna aproximación.
¿La superficie es exacta? La cara de corte plana es exacta; el casquete curvo se calcula por integración numérica de alta resolución (\(64\times64\) paneles), lo que da una precisión de varias cifras significativas.
¿Y si \(h > 2c\)? La altura se limita a \(2c\), que corresponde al elipsoide completo (el área plana pasa a ser cero).
