この計算ツールでできること
このツールは、一部が欠けた（切断された）三軸楕円体の体積と表面積を計算します。まず原点を中心とし、半軸 a・b・c をもつ完全な楕円体を考えます。これは \((x/a)^2 + (y/b)^2 + (z/c)^2 = 1\) で表されます。c 軸を鉛直方向にとり、z = -c（底）から z = +c（頂上）まで伸びるものとします。この立体を水平面で切断し、底面の z = -c から上向きに測った高さ h の部分（下側のキャップ）を残します。これは特定の国や分野に依存しない普遍的な幾何学計算であり、4 つの入力値はすべて同一の長さの単位で表した数値です。
使い方
3 つの半軸 a・b・c と切断高さ h を入力します。高さは \(0 \le h \le 2c\) を満たす必要があります。h = 2c のときは楕円体全体となり、h = c のときはちょうど半分になります。計算結果は入力に用いた長さの単位と同じ単位で返されます。体積は立方単位、表面積は平方単位です。単位の選択メニューはなく、換算は行われません。
計算式の解説
充填率を表す無次元量 \(u = h/c\) とおきます。楕円形の断面積 \(\pi a b\left(1 - (t/c)^2\right)\) を底から上へ向かって積分すると、厳密な閉じた式 $$V = \pi\,a\,b\,c\left[(u-1) - \frac{(u-1)^{3}}{3} + \frac{2}{3}\right]$$ が得られます。表面積は 2 つの部分に分かれます。1 つは面積 \(\pi a b\left(2u - u^{2}\right)\) の平らな楕円形の切断面、もう 1 つは曲面のキャップ部分です。三軸楕円体の曲面には初等的な閉じた式が存在しないため、曲面部分は楕円体の面積要素を θ について \([0, 2\pi]\)、φ について \([0, \arccos(u-1)]\) の範囲で数値積分（シンプソン法による二重積分）して求めます。
計算例
a = 2, b = 3, c = 4, h = 3 の場合、\(u = 0.75\) となります。体積項は $$(-0.25) - \frac{(-0.25)^{3}}{3} + \frac{2}{3} = 0.421875$$ で、 $$V = \pi \cdot 24 \cdot 0.421875 \approx \mathbf{31.81}$$ となります。平らな切断面では \(k^{2} = 2u - u^{2} = 0.9375\) となり、面積は \(\pi \cdot 6 \cdot 0.9375 \approx 17.67\) です。曲面のキャップ部分を積分すると約 81.2 となるので、表面積の合計は \(S \approx \mathbf{98.9}\) となります。
よくある質問
体積は厳密値ですか？ はい。体積は近似を含まない閉じた式による厳密な結果です。
表面積は厳密値ですか？ 平らな切断面は厳密ですが、曲面のキャップ部分は高分解能の数値積分（64×64 分割）で計算しており、有効数字数桁の精度があります。
h が 2c より大きい場合はどうなりますか？ 高さは 2c に制限されます。これは楕円体全体に対応し、平らな切断面の面積はゼロになります。
