कटे हुए (आंशिक) दीर्घवृत्ताभ का आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल

गणना दर्ज करें

अर्ध-अक्ष a

अर्ध-अक्ष b

अर्ध-अक्ष c (ऊर्ध्वाधर / कटने वाला अक्ष)

ऊँचाई h (0 से 2c)

सूत्र (फॉर्मूला)

Show calculation steps (3)

1. Flat Cut Face Area

   

   Elliptical cross-section at the cut; u = h/c

2. Curved Lateral Surface Area

   

   Numerically integrated over phi from 0 to arccos(u-1) and theta from 0 to 2 pi; uses semi-axes a, b, c

3. Total Surface Area

   

   Sum of the flat cut face and the curved lateral surface

परिणाम

आयतन V

31.808626

cubic units (length³)

पृष्ठीय क्षेत्रफल S

89.203364

square units (length²)

समतल कटी हुई सतह का क्षेत्रफल	17.671459
वक्र पार्श्व क्षेत्रफल	71.531905

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल एक कटे हुए (आंशिक) त्रि-अक्षीय दीर्घवृत्ताभ का आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल निकालता है। शुरुआत मूल बिंदु पर केंद्रित एक पूर्ण दीर्घवृत्ताभ से होती है, जिसके अर्ध-अक्ष a, b और c हैं और जो समीकरण \((x/a)^2 + (y/b)^2 + (z/c)^2 = 1\) से परिभाषित होता है। c-अक्ष ऊर्ध्वाधर है, जो z = -c (नीचे) से z = +c (ऊपर) तक जाता है। हम इस ठोस को एक क्षैतिज तल से काटते हैं और z = -c से ऊपर की ओर मापी गई h ऊँचाई वाला निचला कैप रखते हैं। यह शुद्ध, सार्वभौमिक ज्यामिति है और हर जगह लागू होती है — चारों इनपुट एक ही साझा लंबाई इकाई में साधारण संख्याएँ हैं।

एक त्रिअक्षीय दीर्घवृत्ताभ को ऊँचाई h पर एक क्षैतिज तल से काटा गया, जिससे छायांकित आंशिक (कटा हुआ) टोप बचता है।

इसका उपयोग कैसे करें

तीनों अर्ध-अक्ष a, b, c और काटने की ऊँचाई h दर्ज करें। ऊँचाई \(0 \le h \le 2c\) की शर्त पूरी करनी चाहिए; \(h = 2c\) पर आपको पूरा दीर्घवृत्ताभ मिलता है, और \(h = c\) पर ठीक उसका आधा हिस्सा। परिणाम उसी लंबाई इकाई में मिलते हैं जो आपने इस्तेमाल की: आयतन घन इकाइयों में और पृष्ठीय क्षेत्रफल वर्ग इकाइयों में। यहाँ कोई इकाई ड्रॉपडाउन नहीं है, इसलिए कोई स्केलिंग लागू नहीं होती।

सूत्र की व्याख्या

मान लें \(u = h/c\) एक विमारहित भरण-अंश है। नीचे से ऊपर की ओर दीर्घवृत्तीय अनुप्रस्थ-काट क्षेत्रफल \(\pi a b (1 - (t/c)^2)\) का समाकलन करने पर सटीक बंद रूप मिलता है:

$$V = \pi\,\text{a}\,\text{b}\,\text{c}\left[(u-1) - \frac{(u-1)^{3}}{3} + \frac{2}{3}\right]$$

पृष्ठीय क्षेत्रफल दो भागों में बँटता है: एक समतल दीर्घवृत्तीय कटी हुई सतह जिसका क्षेत्रफल \(\pi a b (2u - u^2)\) है, और एक वक्र पार्श्व कैप। चूँकि त्रि-अक्षीय दीर्घवृत्ताभ की सतह का कोई प्राथमिक बंद रूप नहीं होता, इसलिए वक्र भाग की गणना दीर्घवृत्ताभ सतह अवयव के एक संख्यात्मक (सिम्पसन) द्वि-समाकलन द्वारा की जाती है, जहाँ \(\theta\) का परास \([0, 2\pi]\) और \(\phi\) का परास \([0, \arccos(u-1)]\) होता है।

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अनुप्रस्थ काट दिखाता है कि कटाव की ऊँचाई h अर्ध-अक्ष c से कैसे संबंधित है (u = h/c)।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लें \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = 4\), \(h = 3\), तो \(u = 0.75\)। आयतन पद $$= (-0.25) - \frac{(-0.25)^{3}}{3} + \frac{2}{3} = 0.421875,$$ जिससे \(V = \pi \cdot 24 \cdot 0.421875 \approx\) 31.81। समतल सतह के लिए \(k^2 = 2u - u^2 = 0.9375\), क्षेत्रफल \(= \pi \cdot 6 \cdot 0.9375 \approx 17.67\)। वक्र कैप का समाकलन लगभग 81.2 आता है, इसलिए कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल \(S \approx\) 98.9।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

क्या आयतन सटीक है? हाँ — आयतन एक बंद-रूप परिणाम है जिसमें कोई सन्निकटन नहीं है।

क्या पृष्ठीय क्षेत्रफल सटीक है? समतल कटी हुई सतह सटीक है; वक्र कैप की गणना उच्च-विभेदन संख्यात्मक समाकलन (64×64 पैनल) द्वारा होती है, जो कई सार्थक अंकों तक सटीक है।

अगर \(h > 2c\) हो तो क्या होगा? ऊँचाई को \(2c\) पर सीमित कर दिया जाता है, जो पूर्ण दीर्घवृत्ताभ के अनुरूप है (समतल क्षेत्रफल शून्य हो जाता है)।