这个计算器能做什么
本工具用于计算截顶（部分）三轴椭球体的体积和表面积。先设想一个以原点为中心、半轴长分别为 a、b、c 的完整椭球，其方程为 \((x/a)^2 + (y/b)^2 + (z/c)^2 = 1\)。其中 c 轴为竖直方向，从 z = -c（底部）延伸到 z = +c（顶部）。我们用一个水平面把这个立体切开，保留从 z = -c 向上、高度为 h 的底部部分。这是纯粹通用的几何运算，适用于任何场景——四个输入值都是普通数字，并且共用同一个长度单位。
如何使用
输入三个半轴长 a、b、c 以及切割高度 h。高度需满足 \(0 \le h \le 2c\)：当 \(h = 2c\) 时即为完整椭球，当 \(h = c\) 时正好是椭球的一半。计算结果使用与输入相同的长度单位：体积为立方单位，表面积为平方单位。本工具不提供单位下拉选项，因此不会做任何单位换算。
公式详解
令 \(u = h/c\) 为无量纲的填充比例。将椭圆形横截面积 \(\pi a b\left(1 - (t/c)^2\right)\) 从底部向上积分，可得到精确的封闭表达式 $$V = \pi\,\text{a}\,\text{b}\,\text{c}\left[(u-1) - \frac{(u-1)^{3}}{3} + \frac{2}{3}\right]$$ 表面积由两部分组成：一个面积为 $$A_{\text{flat}} = \pi\,\text{a}\,\text{b}\left(2u - u^{2}\right), \quad u = \frac{\text{h}}{\text{c}}$$ 的平整椭圆切面，以及一块弯曲的侧面冠。由于三轴椭球的曲面没有初等封闭表达式，弯曲部分需通过数值（辛普森法）二重积分计算，积分范围为 \(\theta\) 在 \([0, 2\pi]\)、\(\phi\) 在 \([0, \arccos(u-1)]\) 之间的椭球面元。 $$A_{\text{curved}} = \int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{\phi_{\max}} \sin\phi\,\sqrt{c^{2}\sin^{2}\!\phi\,(b^{2}\cos^{2}\!\theta + a^{2}\sin^{2}\!\theta) + a^{2}b^{2}\cos^{2}\!\phi}\;\, d\phi\, d\theta$$ $$S = A_{\text{flat}} + A_{\text{curved}}$$
实例演算
取 \(a = 2\)、\(b = 3\)、\(c = 4\)、\(h = 3\)，则 \(u = 0.75\)。体积项 \(= (-0.25) - (-0.25)^3/3 + 2/3 = 0.421875\)，于是 \(V = \pi\cdot 24\cdot 0.421875 \approx\) 31.81。平整切面的 \(k^2 = 2u - u^2 = 0.9375\)，面积 \(= \pi\cdot 6\cdot 0.9375 \approx 17.67\)。弯曲冠的积分结果约为 81.2，因此总表面积 \(S \approx\) 98.9。
常见问题
体积是精确值吗？是的——体积采用封闭表达式求解，没有任何近似。
表面积是精确值吗？平整切面是精确的；弯曲冠则通过高分辨率数值积分（\(64\times 64\) 个面板）计算，可精确到若干位有效数字。
如果 h > 2c 怎么办？高度会被限制为 \(2c\)，这对应于完整椭球（此时平整切面面积为零）。
