Ce que fait ce calculateur
Cet outil calcule les trois opérations logiques bit à bit fondamentales — ET (AND), OU (OR) et OU exclusif (XOR) — entre deux entiers positifs ou nuls. Chaque opérande peut être saisi en décimal (base 10), hexadécimal (base 16), octal (base 8), sénaire (base 6) ou binaire (base 2). Le résultat de chaque opération est ensuite affiché dans les cinq bases, ce qui vous permet de le lire dans le format dont vous avez besoin. Les valeurs sont traitées comme non signées et couvrent toute la plage de 0 à \(2^{64} - 1\).
Comment l'utiliser
Saisissez le premier nombre dans le champ x et indiquez la base dans laquelle il est écrit. Faites de même pour le second nombre y. Le sélecteur de base ne fait qu'indiquer comment interpréter le texte saisi — l'opération porte toujours sur la valeur entière sous-jacente. Le tableau de résultats présente les opérations ET, OU et OU exclusif sur les lignes décimal, hexadécimal, octal, sénaire et binaire.
La formule expliquée
Les opérations bit à bit agissent sur la représentation binaire de chaque entier, position de bit par position de bit. ET place un bit de résultat à 1 uniquement lorsque les deux bits d'entrée valent 1. OU place un bit de résultat à 1 dès qu'au moins un bit d'entrée vaut 1. OU exclusif (XOR) place un bit de résultat à 1 lorsque exactement un seul bit d'entrée vaut 1 — ce qui en fait l'outil idéal pour le calcul de parité et de somme de contrôle, puisque le OU exclusif d'une valeur avec elle-même donne 0.
$$\begin{gathered} X = \text{parse}\!\left(\text{x},\ \text{base}_x\right), \quad Y = \text{parse}\!\left(\text{y},\ \text{base}_y\right) \\[1.2em] \text{AND} = X \mathbin{\&} Y, \quad \text{OR} = X \mid Y, \quad \text{XOR} = X \oplus Y \end{gathered}$$
Exemple concret
Prenons \(x = 115\) et \(y = 234\) (tous deux en décimal). En binaire, \(115 = 0111\,0011\) et \(234 = 1110\,1010\). ET donne \(0110\,0010 = 98 = 62\) en hexadécimal \(= 142\) en octal \(= 242\) en sénaire \(= 1100010\) en binaire. OU donne \(1111\,1011 = 251 = \text{fb}\) en hexadécimal \(= 373\) en octal \(= 1055\) en sénaire. OU exclusif donne \(1001\,1001 = 153 = 99\) en hexadécimal \(= 231\) en octal \(= 413\) en sénaire \(= 10011001\) en binaire.
Table de vérité binaire
Les opérations binaires travaillent sur chaque paire de bits indépendamment. Le tableau ci-dessous montre toutes les combinaisons possibles de deux bits d'entrée \(A\) et \(B\) et le bit de sortie résultant pour ET (\(\&\)), OU (\(\mid\)) et XOR (\(\oplus\)).
| A | B | A ET B (\(A \mathbin{\&} B\)) | A OU B (\(A \mid B\)) | A XOR B (\(A \oplus B\)) |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
En d'autres termes : ET retourne 1 seulement quand les deux bits sont 1 ; OU retourne 1 quand au moins un bit est 1 ; XOR retourne 1 quand les bits diffèrent. Quand deux entiers à plusieurs bits sont combinés, l'opération est appliquée à chaque position de bit alignée séparément. Par exemple, combiner \(12 = 1100_2\) et \(10 = 1010_2\) au niveau binaire donne ET \(=1000_2 = 8\), OU \(=1110_2 = 14\), et XOR \(=0110_2 = 6\).
Table de conversion de chiffres en base
Avant de calculer ET, OU ou XOR, vérifiez que vos opérandes sont saisis dans la bonne base. Sénaire est la base 6 (chiffres 0–5) ; octal est la base 8 (chiffres 0–7) ; hexadécimal est la base 16 (chiffres 0–9 puis A–F). Le tableau énumère décimal 0–16 dans les cinq bases supportées.
| Décimal (10) | Hexadécimal (16) | Octal (8) | Sénaire (6) | Binaire (2) |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 2 | 2 | 2 | 10 |
| 3 | 3 | 3 | 3 | 11 |
| 4 | 4 | 4 | 4 | 100 |
| 5 | 5 | 5 | 5 | 101 |
| 6 | 6 | 6 | 10 | 110 |
| 7 | 7 | 7 | 11 | 111 |
| 8 | 8 | 10 | 12 | 1000 |
| 9 | 9 | 11 | 13 | 1001 |
| 10 | A | 12 | 14 | 1010 |
| 11 | B | 13 | 15 | 1011 |
| 12 | C | 14 | 20 | 1100 |
| 13 | D | 15 | 21 | 1101 |
| 14 | E | 16 | 22 | 1110 |
| 15 | F | 17 | 23 | 1111 |
| 16 | 10 | 20 | 24 | 10000 |
Vous pouvez vérifier n'importe quelle valeur unique dans une autre base avec le convertisseur binaire 1100, qui retourne décimal 12.
Définitions et glossaire
- Bit
- La plus petite unité d'information numérique, prenant la valeur 0 ou 1. Chaque entier dans cette calculatrice est traité comme une séquence de bits.
- Opération binaire
- Une opération appliquée indépendamment à chaque bit correspondant de deux opérandes. ET, OU et XOR sont les trois opérations de combinaison calculées ici.
- Base (radix)
- Le nombre de chiffres distincts qu'un système de numération positionnelle utilise. Décimal a la base 10, binaire la base 2, octal la base 8, sénaire la base 6 et hexadécimal la base 16. Chaque position de chiffre représente une puissance de la base.
- Entier non signé
- Un nombre entier non négatif sans bit de signe ; tous les bits contribuent à la magnitude. Cet outil accepte uniquement des valeurs non signées.
- Sénaire
- Numérotation en base 6 utilisant les chiffres 0–5. Les valeurs de position sont des puissances de 6, par exemple \(24_6 = 2\times6 + 4 = 16\).
- Hexadécimal
- Numérotation en base 16 utilisant les chiffres 0–9 et les lettres A–F (où A=10 … F=15). Chaque chiffre hexadécimal correspond exactement à quatre bits binaires.
- Octal
- Numérotation en base 8 utilisant les chiffres 0–7. Chaque chiffre octal correspond à exactement trois bits binaires.
- Masque
- Une valeur constante utilisée avec une opération binaire pour sélectionner, définir ou effacer des bits spécifiques — par exemple, faire un ET avec \(0\text{F}_{16}\) conserve uniquement les quatre bits bas.
- Parité
- Si le nombre de bits 1 dans une valeur est pair ou impair. XOR est la base des vérifications de parité : le XOR de tous les bits égale 1 pour la parité impaire et 0 pour la parité paire.
FAQ
Les nombres négatifs sont-ils pris en charge ? Non. Les valeurs saisies sont des entiers non signés, positifs ou nuls ; il n'y a pas de gestion du signe par complément à deux.
Que se passe-t-il si je saisis un chiffre invalide ? Un chiffre en dehors de la base choisie (par exemple « 8 » en octal) est ignoré ou interprété comme 0 : vérifiez donc votre sélection de base.
Pourquoi utiliser le OU exclusif pour les sommes de contrôle ? Comme appliquer un OU exclusif sur un flux d'octets puis le réappliquer au même flux ramène le résultat à 0, le OU exclusif est un moyen simple et réversible de détecter les changements d'un seul bit et de calculer la parité.
