À quoi sert ce calculateur
Un sphéroïde est un ellipsoïde de révolution — le solide engendré par la rotation d'une ellipse autour de l'un de ses axes. Cet outil calcule la géométrie d'un segment sphéroïdal : la portion obtenue lorsqu'on tranche le sphéroïde par un plan perpendiculaire à son axe de rotation. Il fournit le volume du segment, l'aire de la base (la coupe circulaire plane) ainsi que l'aire de la paroi courbe (surface latérale).
Comment l'utiliser
Saisissez le demi-axe équatorial a (le rayon dans les deux directions perpendiculaires à l'axe), le demi-axe c le long de l'axe de rotation, et la hauteur h du segment mesurée depuis la pointe inférieure. Exprimez les trois valeurs dans la même unité de longueur : le volume sera donné en unité³ et les aires en unité². La hauteur doit respecter la condition \(0 < h \le 2c\) ; en posant \(h = 2c\), vous obtenez le sphéroïde complet.
Les formules expliquées
Pour le sphéroïde \(x^{2}/a^{2} + z^{2}/c^{2} = 1\), le rayon du disque à la hauteur axiale \(z\) vaut \(r(z) = \text{a}\sqrt{1 - z^{2}/c^{2}}\). En intégrant \(\pi r^{2}\) depuis le bas (\(z = -c\)) jusqu'à la coupe (\(z = h - c\)), on obtient $$V = \frac{\pi\,\text{a}^{2}\,\text{h}^{2}}{3\,\text{c}^{2}}\left(3\,\text{c} - \text{h}\right)$$ L'aire de la base est égale à \(\pi\) multiplié par le carré du rayon de la coupe : $$A = \frac{\pi\,\text{a}^{2}\,\text{h}\left(2\,\text{c} - \text{h}\right)}{\text{c}^{2}}$$ La paroi courbe est une surface de révolution, $$S = 2\pi \int r\sqrt{1 + \left(\frac{dr}{dz}\right)^{2}}\,dz$$ évaluée ici par intégration numérique fine afin de fonctionner aussi bien pour les formes allongées (prolates), aplaties (oblates) que sphériques.
Exemple résolu
Prenons \(a = 2\), \(c = 4\), \(h = 3\) (forme prolate, puisque \(c > a\)). $$\text{Volume} = \frac{\pi\cdot 4\cdot 9\cdot(12 - 3)}{3\cdot 16} = \frac{\pi\cdot 324}{48} \approx 21{,}206\ \text{unité}^{3}$$ $$\text{Aire de la base} = \frac{\pi\cdot 4\cdot 3\cdot(8 - 3)}{16} = \pi\cdot 3{,}75 \approx 11{,}781\ \text{unité}^{2}$$ La surface courbe s'intègre à environ \(25{,}30\) unité².
FAQ
L'aire de la base est-elle comprise dans la surface latérale ? Non — la surface indiquée correspond uniquement à la paroi sphéroïdale courbe. Ajoutez l'aire de la base si vous avez besoin de la surface totale du segment fermé.
Que se passe-t-il si a est égal à c ? Le sphéroïde devient une sphère de rayon \(R = a = c\), et les résultats coïncident avec les formules classiques de la calotte sphérique : \(V = \pi \text{h}^{2}(3R - \text{h})/3\) et \(S = 2\pi R\text{h}\).
Prolate ou oblate ? Prolate signifie \(c > a\) (forme d'œuf allongée le long de l'axe) ; oblate signifie \(c < a\) (forme aplatie). L'intégrale numérique de surface gère les deux cas sans modifier la formule.
