حاسبة حجم القطعة من المجسم الإهليلجي الدوراني

أدخل الحساب

نصف المحور a

نصف المحور c (محور الدوران)

Height h (from bottom, ≤ 2c)

صيغة رياضية

Show calculation steps (2)

1. Base (Cut-Face) Area

   

   Area of the flat circular cut face at height h.

2. Lateral (Curved) Surface Area

   

   Surface of revolution about the c-axis from the tip up to z = h - c, with r(z) = a sqrt(1 - z^2/c^2).

نتائج

حجم القطعة المجسمة الناقصة

٢١٫٢٠٥٨

cubic units (unit³)

مساحة القاعدة (سطح القطع)	١١٫٧٨١ unit²
مساحة السطح (الجدار المنحني)	٣٠٫٤٨٩٤ unit²

ماذا تفعل هذه الحاسبة

المجسم الإهليلجي الدوراني هو الجسم الناتج عن دوران قطع ناقص حول أحد محوريه. تتولّى هذه الأداة حساب أبعاد قطعة مجسمة؛ أي الجزء المتبقي حين تقطع المجسم بمستوٍ مسطح عمودي على محور الدوران. وتعطيك حجم القطعة، ومساحة القاعدة الدائرية المسطحة الناتجة عن القطع، والمساحة الجانبية المنحنية للجدار.

A spheroid of revolution sliced by a horizontal plane; the shaded lower segment of height h is what the calculator measures.

طريقة الاستخدام

أدخل نصف المحور الاستوائي a (نصف القطر في الاتجاهين العموديين على المحور)، ونصف المحور c على امتداد محور الدوران، وارتفاع القطعة h مقيسًا من الطرف السفلي. احرص على أن تكون القيم الثلاث بالوحدة الطولية نفسها؛ فيظهر الحجم بالوحدة³ والمساحات بالوحدة². يجب أن يحقق الارتفاع الشرط \(0 < h \le 2c\)، وعند ضبط \(h = 2c\) تحصل على المجسم الكامل.

شرح المعادلات

بالنسبة للمجسم \(x^{2}/a^{2} + z^{2}/c^{2} = 1\)، يكون نصف قطر القرص عند الارتفاع المحوري \(z\) هو \(r(z) = a\sqrt{1 - z^{2}/c^{2}}\). وبتكامل \(\pi r^{2}\) من القاعدة (\(z = -c\)) حتى مستوى القطع (\(z = h - c\)) نحصل على $$V = \frac{\pi\,\text{a}^{2}\,\text{h}^{2}}{3\,\text{c}^{2}}\left(3\,\text{c} - \text{h}\right)$$ أما مساحة القاعدة فهي \(\pi\) مضروبة في مربع نصف قطر القطع، أي $$A = \frac{\pi\,\text{a}^{2}\,\text{h}\left(2\,\text{c} - \text{h}\right)}{\text{c}^{2}}$$ والجدار المنحني هو سطح دوراني، $$S = 2\pi \int r\sqrt{1 + \left(\frac{dr}{dz}\right)^{2}}\;dz$$ ويُحسب هنا بتكامل عددي دقيق ليصلح للأشكال المستطيلة والمفلطحة والكروية على حد سواء.

اعلان

The segment has a curved surface, a flat circular base, and a base radius defining the cut.

مثال محلول

لنأخذ \(a = 2\) و\(c = 4\) و\(h = 3\) (شكل مستطيل لأن \(c > a\)). الحجم $$= \frac{\pi \cdot 4 \cdot 9 \cdot (12 - 3)}{3 \cdot 16} = \frac{\pi \cdot 324}{48} \approx 21.206 \text{ وحدة}^{3}$$ مساحة القاعدة $$= \frac{\pi \cdot 4 \cdot 3 \cdot (8 - 3)}{16} = \pi \cdot 3.75 \approx 11.781 \text{ وحدة}^{2}$$ وتعطي مساحة السطح المنحني بالتكامل نحو \(25.30\) وحدة².

الأسئلة الشائعة

هل مساحة القاعدة مضمَّنة في مساحة السطح؟ لا؛ فالمساحة المُعطاة تقتصر على الجدار المجسم المنحني فقط. أضف مساحة القاعدة إذا أردت إجمالي سطح القطعة المغلقة.

ماذا لو كان \(a\) يساوي \(c\)؟ يصبح المجسم كرة نصف قطرها \(R = a = c\)، وتتطابق النتائج مع معادلتي القلنسوة الكروية المعتادتين \(V = \pi h^{2}(3R - h)/3\) و\(S = 2\pi R h\).

الفرق بين الشكل المستطيل والمفلطح؟ المستطيل يعني \(c > a\) (شكل بيضوي ممتد على المحور)، والمفلطح يعني \(c < a\) (مسطح). ويتعامل التكامل العددي للسطح مع الحالتين دون تغيير المعادلة.