तीन भुजाओं से त्रिभुज का क्षेत्रफल (हीरोन का सूत्र) कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

भुजा a की लंबाई

भुजा b की लंबाई

भुजा c की लंबाई

तीनों भुजाएँ एक ही इकाई में डालें। क्षेत्रफल उसी इकाई के वर्ग में मिलेगा।

परिणाम

क्षेत्रफल S

6

वर्ग इकाई (डाली गई इकाई का वर्ग)

अर्ध-परिमाप s	6
सूत्र	हीरोन का सूत्र

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल तब निकालता है जब आपको उसकी तीनों भुजाओं की लंबाई पता हो — इसके लिए हीरोन का सूत्र इस्तेमाल होता है। आपको न तो ऊँचाई की ज़रूरत है और न ही किसी कोण की — बस तीन भुजाएँ काफ़ी हैं। हीरोन का सूत्र हर तरह के त्रिभुज पर काम करता है (विषमबाहु, समद्विबाहु, समबाहु, न्यूनकोण, समकोण या अधिककोण), इसीलिए यह ज्यामिति के सबसे उपयोगी क्षेत्रफल सूत्रों में से एक है।

इसका उपयोग कैसे करें

a, b और c नाम वाली तीनों भुजाओं की लंबाई डालें। ये सभी एक ही इकाई में मापी होनी चाहिए (सभी सेंटीमीटर में, या सभी इंच में, आदि) — यहाँ इकाई चुनने का कोई ड्रॉपडाउन नहीं है। नतीजा, यानी क्षेत्रफल S, उसी इकाई के वर्ग में आता है। उदाहरण के लिए, यदि आप भुजाएँ मीटर में डालते हैं, तो क्षेत्रफल वर्ग मीटर में मिलेगा। तीनों भुजाएँ धनात्मक (पॉज़िटिव) संख्याएँ होनी चाहिए।

सूत्र की पूरी समझ

सबसे पहले कैलकुलेटर अर्ध-परिमाप निकालता है, जो परिमाप का आधा होता है: \( s = (a + b + c) / 2 \)। इसके बाद यह सूत्र लगाता है: $$S = \sqrt{ s \cdot (s - a) \cdot (s - b) \cdot (s - c) }$$ यहाँ हर पद \( (s - a) \), \( (s - b) \) और \( (s - c) \) धनात्मक होना ज़रूरी है; यही दरअसल त्रिभुज असमिका (triangle inequality) की शर्त है — किन्हीं भी दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा होना चाहिए। यदि दी गई भुजाओं से कोई वास्तविक त्रिभुज नहीं बन सकता, तो वर्गमूल के अंदर का मान ऋणात्मक हो जाएगा और कैलकुलेटर कोई संख्या देने के बजाय एक त्रुटि (एरर) दिखाएगा।

हेरोन का सूत्र केवल तीनों भुजाओं a, b और c का उपयोग करता है।

हल किया हुआ उदाहरण

एक 3-4-5 समकोण त्रिभुज लीजिए: \( a = 5 \), \( b = 4 \), \( c = 3 \)। अर्ध-परिमाप होगा \( s = (5 + 4 + 3) / 2 = 6 \)। फिर $$S = \sqrt{6 \cdot (6-5) \cdot (6-4) \cdot (6-3)} = \sqrt{6 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3} = \sqrt{36} = 6$$ वर्ग इकाई। यह नतीजा समकोण त्रिभुज के सामान्य सूत्र क्षेत्रफल \( = \frac12 \cdot \text{आधार} \cdot \text{ऊँचाई} = \frac12 \cdot 3 \cdot 4 = 6 \) से बिल्कुल मेल खाता है।

हल किया गया उदाहरण: 3-4-5 त्रिभुज का क्षेत्रफल 6 वर्ग इकाई है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

अगर भुजाओं से त्रिभुज ही न बने तो? यदि सबसे बड़ी भुजा बाकी दोनों के योग के बराबर या उससे बड़ी हो, तो कोई त्रिभुज नहीं बनता और कैलकुलेटर "Not a valid triangle" यानी "मान्य त्रिभुज नहीं" की त्रुटि दिखाता है।

क्या भुजाओं के लिए कोई खास इकाई ज़रूरी है? नहीं — कोई भी इकाई चलेगी, बशर्ते तीनों भुजाएँ एक ही इकाई में हों। क्षेत्रफल उसी इकाई के वर्ग में मिलेगा।

क्या यह समबाहु और समद्विबाहु त्रिभुजों पर भी काम करता है? हाँ। हीरोन का सूत्र हर मान्य त्रिभुज पर काम करता है, चाहे उसका आकार कुछ भी हो।