À quoi sert ce calculateur
Cet outil détermine l'aire, le périmètre et la hauteur d'un triangle lorsque vous connaissez deux de ses côtés et l'angle qui les sépare (l'« angle compris »). C'est le cas classique CAC — côté-angle-côté. Deux côtés et l'angle qu'ils encadrent définissent entièrement un triangle : toutes les autres mesures peuvent donc en être déduites. Le calculateur fonctionne avec n'importe quelle unité : saisissez les côtés dans une unité de longueur cohérente, et l'aire sera exprimée dans cette unité au carré, tandis que le périmètre et la hauteur conserveront l'unité des côtés.
Comment l'utiliser
Saisissez la longueur du côté a et celle du côté b (toutes deux doivent être strictement positives), puis indiquez l'angle compris et précisez s'il est exprimé en degrés ou en radians. Pour obtenir un véritable triangle non dégénéré, l'angle doit être strictement compris entre 0 et 180 degrés (entre 0 et π radians). Cliquez sur « Calculer » pour afficher l'aire S, le périmètre total L, le troisième côté c et la hauteur h mesurée par rapport à la base a.
Les formules expliquées
L'aire s'appuie sur la formule trigonométrique du cas CAC : $$S = \frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot\sin(\theta)$$ Le troisième côté provient de la loi des cosinus, $$c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab\cdot\cos(\theta)}$$ et le périmètre vaut tout simplement \(L = a + b + c\). La hauteur abaissée sur la base a est $$h = b\cdot\sin(\theta)$$ ce qui découle de \(S = \frac{1}{2}\cdot a\cdot h\). L'angle est converti en radians avant tout calcul trigonométrique ; pour les degrés, il est multiplié par \(\frac{\pi}{180}\).
Exemple résolu
Avec \(a = 4\), \(b = 5\) et \(\theta = 30\) degrés : \(\sin(30°) = 0{,}5\) et \(\cos(30°) = 0{,}8660254\). Aire $$S = 0{,}5 \times 4 \times 5 \times 0{,}5 = 5$$ Troisième côté $$c = \sqrt{16 + 25 - 34{,}641016} = \sqrt{6{,}358984} = 2{,}521703$$ d'où le périmètre \(L = 4 + 5 + 2{,}521703 = 11{,}521703\). Hauteur \(h = 5 \times 0{,}5 = 2{,}5\).
FAQ
Pourquoi l'angle doit-il être inférieur à 180 degrés ? À exactement 0 ou 180 degrés, le triangle s'aplatit en une ligne droite et son aire est nulle. Seules les valeurs intermédiaires donnent un véritable triangle.
Par rapport à quelle base la hauteur est-elle mesurée ? La hauteur indiquée, \(h = b\cdot\sin(\theta)\), est celle abaissée sur la base a. La hauteur relative à la base b vaudrait quant à elle \(a\cdot\sin(\theta)\).
La racine carrée peut-elle échouer ? Non. L'expression \(a^2 + b^2 - 2ab\cdot\cos(\theta)\) est égale à \(c^2\), qui est toujours positif ou nul ; les minuscules valeurs négatives dues aux arrondis sont ramenées à zéro.
