À quoi sert ce calculateur
Cet outil détermine l'aire et le périmètre d'un parallélogramme lorsque vous connaissez la longueur de deux côtés adjacents et l'angle qui les sépare. Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles et de même longueur : les deux longueurs distinctes a et b, associées à l'angle compris thêta, suffisent donc à définir entièrement sa forme et ses dimensions.
Comment l'utiliser
Saisissez la longueur de la base a et celle du côté oblique b dans une même unité cohérente (mètres, pouces, etc.). Indiquez l'angle compris thêta et précisez s'il est exprimé en degrés ou en radians. Le calculateur renvoie l'aire S en unités de longueur au carré et le périmètre L en unités de longueur.
La formule expliquée
L'aire est égale au produit des deux côtés multiplié par le sinus de l'angle compris entre eux : $$S = a \times b \times \sin(\theta)$$ Le terme \(b \times \sin(\theta)\) correspond à la hauteur perpendiculaire du parallélogramme : on retrouve donc bien le produit base \(\times\) hauteur. Le périmètre, lui, vaut simplement $$L = 2(a + b)$$ et ne dépend pas de l'angle. En interne, une valeur en degrés est d'abord convertie en radians grâce à la relation \(\theta_{rad} = \theta \times \frac{\pi}{180}\) avant d'appliquer le sinus.
Exemple concret
Pour a = 2, b = 1 et thêta = 60 degrés : thêta en radians vaut $$60 \times \frac{\pi}{180} = 1{,}04719755,$$ et \(\sin(60°) = 0{,}86602540\). On obtient donc $$S = 2 \times 1 \times 0{,}86602540 = 1{,}73205081$$ (soit la racine carrée de 3). Le périmètre est égal à \(L = 2 \times (2 + 1) = 6\).
Questions fréquentes
L'angle modifie-t-il le périmètre ? Non. Le périmètre ne dépend que des longueurs des côtés : faire varier thêta ne change donc pas \(L\), alors que \(S\), lui, évolue.
Quel angle donne l'aire la plus grande ? thêta = 90 degrés, là où \(\sin = 1\) et où la figure devient un rectangle d'aire \(S = a \times b\). À mesure que thêta s'approche de 0 ou de 180 degrés, l'aire tend vers 0 (parallélogramme aplati, dit dégénéré).
Pourquoi deux angles supplémentaires donnent-ils la même aire ? Parce que \(\sin(\theta) = \sin(180° - \theta)\). Les deux angles intérieurs d'un parallélogramme sont supplémentaires et conduisent à la même hauteur : l'une ou l'autre valeur produit donc la même aire.
