À quoi sert ce calculateur
Cet outil détermine le cercle inscrit de n'importe quel triangle à partir de la longueur de ses trois côtés. Le cercle inscrit est le plus grand cercle qui tient à l'intérieur d'un triangle, tangent aux trois côtés ; son centre est le centre du cercle inscrit (incentre). Le calculateur fournit le rayon du cercle inscrit (\(r\)), son diamètre, son aire, l'aire du triangle ainsi que le rapport entre l'aire du cercle inscrit et celle du triangle. Tous les côtés doivent être saisis dans la même unité « L » ; le rayon et le diamètre sont exprimés en L, et les aires en L², sans aucune conversion d'unité.
Comment l'utiliser
Saisissez les longueurs des trois côtés a, b et c. Elles doivent toutes être positives et respecter l'inégalité triangulaire : chaque côté doit être strictement inférieur à la somme des deux autres. Si les valeurs ne forment pas un triangle valide, le calculateur signale une erreur plutôt que de renvoyer un résultat dénué de sens.
La formule expliquée
On calcule d'abord le demi-périmètre \(s = (a + b + c) / 2\). La formule de Héron donne l'aire du triangle $$S_t = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$ Le rayon du cercle inscrit s'obtient simplement en divisant l'aire par le demi-périmètre : $$r = \frac{S_t}{s}$$ On en déduit le diamètre \(\phi = 2r\), l'aire du cercle inscrit \(S_c = \pi r^2\), et le rapport d'aires \(S_c / S_t\).
Exemple résolu
Prenons le célèbre triangle rectangle 3-4-5 : $$s = \frac{3+4+5}{2} = 6$$ $$S_t = \sqrt{6\cdot3\cdot2\cdot1} = \sqrt{36} = 6$$ On obtient donc \(r = 6/6 = 1\), un diamètre de \(2\), une aire du cercle inscrit de \(\pi\cdot1^2 \approx 3{,}14159\), et un rapport d'aires de \(3{,}14159 / 6 \approx 0{,}5236\).
FAQ
Qu'est-ce que le cercle inscrit ? C'est l'unique cercle à l'intérieur d'un triangle qui touche les trois côtés. Son centre est le centre du cercle inscrit, point de rencontre des bissectrices des angles.
Pourquoi est-ce que j'obtiens une erreur ? Vos côtés ne forment pas un vrai triangle : soit un côté est nul ou négatif, soit un côté est plus long que la somme des deux autres.
Fonctionne-t-il avec tous les triangles ? Oui : triangles scalènes, isocèles, équilatéraux et rectangles fonctionnent tous, tant que l'inégalité triangulaire est respectée.
