두 변과 끼인각으로 구하는 삼각형 넓이

계산 입력

변 a의 길이

변 b의 길이

Included angle θ (between the two sides)

각도 단위 Degrees Radians

결과

넓이 S

5

square units (length unit²)

둘레 L	11.521703 units
세 번째 변 c	2.521703 units
높이 h (밑변 a)	2.5 units

이 계산기의 기능

두 변의 길이와 그 사이의 각도(이른바 '끼인각')를 알 때, 삼각형의 넓이·둘레·높이를 구해 주는 도구입니다. 수학에서 흔히 말하는 SAS — 변·각·변(side-angle-side) — 조건이죠. 두 변과 그 끼인각이 정해지면 삼각형 모양이 하나로 확정되므로, 나머지 모든 값을 이 세 가지에서 끌어낼 수 있습니다. 이 계산기는 단위를 가리지 않습니다. 두 변을 같은 길이 단위로 입력하면 넓이는 그 단위의 제곱으로, 둘레와 높이는 변과 같은 단위로 나옵니다.

사용 방법

변 a와 변 b의 길이를 입력합니다(둘 다 0보다 커야 합니다). 그다음 끼인각을 입력하고 도(degree)인지 라디안(radian)인지 단위를 선택하세요. 면적이 0이 아닌 진짜 삼각형이 되려면 각도가 0도와 180도 사이(라디안으로는 0과 \(\pi\) 사이)에 엄격히 들어와야 합니다. 계산 버튼을 누르면 넓이 S, 전체 둘레 L, 세 번째 변 c, 그리고 변 a를 밑변으로 한 높이 h를 한눈에 볼 수 있습니다.

공식 풀이

넓이는 SAS 조건의 사인 공식을 씁니다. $$S = \frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot\sin(\theta)$$ 세 번째 변은 코사인 법칙으로 구합니다. $$c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab\cdot\cos(\theta)}$$ 둘레는 단순히 \(L = a + b + c\)입니다. 변 a 위로 내린 높이는 $$h = b\cdot\sin(\theta)$$로, \(S = \frac{1}{2}\cdot a\cdot h\)에서 자연스럽게 따라 나옵니다. 삼각함수를 적용하기 전에 각도는 먼저 라디안으로 변환되며, 도 단위라면 \(\frac{\pi}{180}\)을 곱합니다.

높이 \(h = a\cdot\sin(\theta)\)이므로 넓이 \(S = \frac{1}{2}\cdot b\cdot h = \frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot\sin(\theta)\).

넓이는 두 변 a와 b, 그리고 그 사이의 끼인각 theta에 따라 결정됩니다.

계산 예시

a = 4, b = 5, θ = 30도인 경우를 봅시다. \(\sin(30°) = 0.5\), \(\cos(30°) = 0.8660254\)입니다. 넓이 $$S = 0.5 \times 4 \times 5 \times 0.5 = 5$$ 세 번째 변 \(c = \sqrt{16 + 25 - 34.641016} = \sqrt{6.358984} = 2.521703\)이므로, 둘레 \(L = 4 + 5 + 2.521703 = 11.521703\). 높이 \(h = 5 \times 0.5 = 2.5\)입니다.

자주 묻는 질문

각도가 왜 180도보다 작아야 하나요? 각도가 정확히 0도나 180도이면 삼각형이 직선으로 납작해져 넓이가 0이 됩니다. 그 사이의 값이라야 진짜 삼각형이 만들어집니다.

높이는 어느 변을 밑변으로 잰 값인가요? 여기서 표시되는 높이 \(h = b\cdot\sin(\theta)\)는 변 a를 밑변으로 한 높이입니다. 변 b를 밑변으로 잰 높이는 \(a\cdot\sin(\theta)\)가 됩니다.

제곱근 계산이 실패할 수도 있나요? 그렇지 않습니다. \(a^2 + b^2 - 2ab\cdot\cos(\theta)\) 식은 곧 \(c^2\)과 같으며, 이 값은 항상 0 이상입니다. 반올림 과정에서 생기는 아주 작은 음수 오차는 0으로 보정됩니다.