Калькулятор площади треугольника по двум сторонам и углу (SAS)

Введите расчет

Сторона a

Сторона b

Угол между сторонами C (в градусах)

Результатов

Площадь треугольника

12,3744

квадратных единиц

Сторона a	5
Сторона b	7
Угол между сторонами C	45°
Формула	A = ½·a·b·sin C

Что такое формула площади треугольника по двум сторонам и углу (SAS)?

Если известны две стороны треугольника и угол между ними — конфигурация «сторона-угол-сторона», или SAS, — площадь можно найти сразу, не вычисляя предварительно высоту. Формула выглядит так: \(A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C\), где a и b — две известные стороны, а C — угол между ними. Это универсальный геометрический инструмент: он работает с любыми единицами измерения (см, м, дюймы), главное — чтобы обе стороны были заданы в одних и тех же единицах.

$$A = \frac{1}{2} \cdot \text{Side }a \cdot \text{Side }b \cdot \sin\!\left(\text{Angle }C\right)$$

Конфигурация СУС: две известные стороны a и b с углом C между ними.

Как пользоваться калькулятором

Введите длины двух сторон a и b, а затем угол между ними C в градусах (значение от 0 до 180). Калькулятор сам переводит угол в радианы и выдаёт площадь в квадратных единицах. Поскольку \(\sin(C)\) достигает максимума при 90°, прямой угол между сторонами даёт наибольшую возможную площадь при заданных длинах сторон.

Разбор формулы

Классическая формула площади треугольника — \(\frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}\). Если взять сторону b за основание, то высота равна перпендикулярному расстоянию от противоположной вершины, то есть \(a \cdot \sin C\). Подставив это значение, получаем

$$A = \frac{1}{2} \cdot b \cdot (a \cdot \sin C) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C$$

Высота \(h = a \cdot \sin C\) превращает площадь «основание на высоту» в \(\frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C\).

Пример расчёта

Пусть \(a = 5\), \(b = 7\), а \(C = 45°\). Тогда \(\sin 45° \approx 0{,}7071\), поэтому

$$A = \frac{1}{2} \times 5 \times 7 \times 0{,}7071 = 17{,}5 \times 0{,}7071 \approx 12{,}374 \text{ квадратных единицы}$$

Частые вопросы

Угол обязательно задавать в градусах? Да, калькулятор принимает угол в градусах и автоматически переводит его в радианы.

А если известны все три стороны? Тогда используйте формулу Герона — этот калькулятор предназначен именно для случая «две стороны плюс угол между ними».

Почему площадь максимальна при 90°? Потому что \(\sin(C)\) достигает своего наибольшего значения, равного 1, именно при 90°: стороны становятся перпендикулярными, а площадь — максимальной.